Geometrisk summa

Har följande formel för en geometrisk summa

Om jag istället har $\sum_{i = 1}^{n} q^{i} = q + q^{2} + . . . + q^{n}$ , där jag vill göra om den till formeln ovan så jag kan utnyttja kvoten. Om jag bryter ut q så får jag $\sum_{i = 1}^{n} q^{i} = q (1 + q + . . . + q^{n - 1}) = q {\sum q^{i}}_{i = 0}^{n - 1}$ nu har jag ordnat så att första termen har i=0 men nu blir sista n-1 istället. Jag skriver om den så här $q \sum_{i = 0}^{n} q^{i} - q^{n + 1}$ , dvs summan går upp till qⁿ (men detta mutipliceras med en faktor q!!) vilket vi behöver subtrahera bort. Om vi nu sätter ihop allt, stämmer följande? $\sum_{i = 1}^{n} q^{i} = q \sum_{i = 0}^{n} q^{i} - q^{n + 1} = q \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} - q^{n + 1} = q \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Det verkar stämma om jag kör det i matlab för något q och något n.

Summan med i = 1 är alltid samma som summan från i = 0 fast utan den första termen, vilket är 1. Därför tänker jag såhär:

${\sum q^{i}}_{i = 1}^{n} = - 1 + \sum_{i = 0}^{n} q^{i} = - 1 + \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q - 1}{1 - q} + \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q - 1 + 1 - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q - q^{n + 1}}{1 - q} = q \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Alltså samma svar. Wolfram alpha förenklar också till exakt samma uttryck (förutom att den har bytt plats på minustecknet i täljaren och nämnaren)

Skillnaden mellan att start med i = 0 och i=1 är bara den första terman '1' så dra bort den ur högerledet så får du efter lite omstuvningar ditt svar så det är korrekt

Edit: 2själar samma tanke - bortde dock ha sett att du skrev....

tack ska ni ha

Svara

Visa senaste svar