Geometrisk serie mot oändligheten

Hej,

jag ska bestämma för vilka x serien $\sum_{k = 1}^{\infty} x^{k}$ är konvergent, samt beräkna seriens summa för dessa x.

Jag ställde upp såhär:

$\sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = l i m n \to \infty \sum_{k = 0}^{n - 1} x^{k} - 1 = l i m n \to \infty \frac{x^{n - 1 + 1} - 1}{x - 1} - 1 l i m n \to \infty \frac{x^{n} - 1}{x - 1} - 1$

Tänkte sedan att då -1<x<1 kommer serien vara konvergent. Ser dock på lösningsförslaget att jag ställt upp bråket fel, där de istället får x^n+1. Varför subtraherar de inte med -1 också? Beror det på att n ändå ska vara oändligt stort?

Det verkar bli rätt svar ändå om jag räknade rätt i huvudet. Hur ser lösningsförslaget ut?

Tycker din lösning ser korrekt ut, min misstanke är att det är ett skrivfel i facit om det står $x^n+1$ någonstans i bråket.

Hej,

Din serie är $x+x^2+x^3+\cdots$ som kan faktoriseras till $x\cdot(1+x+x^2+\cdots) = x \cdot f(x)$ där $f(x) = 1+x+x^2+\cdots.$ Serien är konvergent då $-1<x<1$ och är då lika med $x/(1-x).$

Svara

Visa senaste svar