Metoder för att beräkna gränsvärden från endimensionell analys (Matematik/Inför högskolan)

Det kanske går med standargränsvärden, men jag har inte testat. Enklast är nog att bara köra på Maclaurinutvecklingen då x tenderar mot 0.

Täljaren är kontinuerlig och begränsad. För x = 0 är den lika med 1.
Nämnaren är icke-negativ och går mot 0 när x går mot noll.
Hela uttrycket går därför mot positiva oändligheten när x går mot noll.

I all enkelhet :-)

Hur blir det istället om du hade applicerat den logiken på cosx/x eller sinx/x?

Det ger en generell idé vad gränsvärdet går emot, men funkar inte generellt. Sedan hade den motivering inte tjänat eleven några poäng alls då vi inte egentligen har visat någonting. Så kanske inte riktigt så enkelt? ;)

De fyra vanligaste metoderna i vilket fall är:

Notera dock att om du endast har polynom så räcker det med att bryta ut dominerande faktorer.

Jag hade nog som sagt använt Maclaurin här personligen. :)

Dracaena skrev:

"Hur blir det istället om du hade applicerat den logiken på cosx/x eller sinx/x?"

Det har du rätt i. sinx/x är ett bra motexempel. Här gick det lite för fort!
Men med x² i nämnaren "borde det väl gå bra" ?
Kan man tycka, men det är ju inget bevis.

Det blir att gå tillbaka till någon av de metoder du räknar upp.
Tack för påpekandet och rättelsen!

Numera kan man ju lätt skaffa sig en uppfattning om vartåt det lutar
genom att låta datorn rita grafen för uttrycket över något litet intervall som innehåller 0 .
Vilket bevisväde har en sådan figur?

Arktos skrev:
Dracaena skrev:

"Hur blir det istället om du hade applicerat den logiken på cosx/x eller sinx/x?"

Det har du rätt i. sinx/x är ett bra motexempel. Här gick det lite för fort!
Men med x² i nämnaren "borde det väl gå bra" ?
Kan man tycka, men det är ju inget bevis.

Det blir att gå tillbaka till någon av de metoder du räknar upp.
Tack för påpekandet och rättelsen!

Numera kan man ju lätt skaffa sig en uppfattning om vartåt det lutar
genom att låta datorn rita grafen för uttrycket över något litet intervall som innehåller 0 .
Vilket bevisväde har en sådan figur?

Men jag tänkte att man kan visa att 0/1 eller 0/0 då är gränsvärde definierat.

så tänkte jag göra men kanske det är inte riktigt lösning till uppgiften. Som sagt är bara nyfiken på lösning.
Räknas den här som bevis ens ?

Konstaterar man att nämnaren går mot 0 och att täljaren går mot ett annat tal så är väl saken klar. Det liknar alltså cosx/x. Sådant som sinx/x kommer inte in i bilden.

Dracaena skrev:
Hur blir det istället om du hade applicerat den logiken på cosx/x eller sinx/x?

Det ger en generell idé vad gränsvärdet går emot, men funkar inte generellt. Sedan hade den motivering inte tjänat eleven några poäng alls då vi inte egentligen har visat någonting. Så kanske inte riktigt så enkelt? ;)

De fyra vanligaste metoderna i vilket fall är:

Standargränsvärde

L'Hôpital's regel

Maclaurinutvecklingen

Squeeze theorem

Notera dock att om du endast har polynom så räcker det med att bryta ut dominerande faktorer.

Jag hade nog som sagt använt Maclaurin här personligen. :)

ska nog prova dem metoder och se om det finns en lösning. Men mina tankar är att man vill låta x gå mot noll samt att uppgiften ska vara definierad.

vet inte om det här fattig tricks att göra, och om det är ens någon lösning till den här uppgiften.

Laguna skrev:
Konstaterar man att nämnaren går mot 0 och att täljaren går mot ett annat tal så är väl saken klar. Det liknar alltså cosx/x. Sådant som sinx/x kommer inte in i bilden.

Men cos0/0 är inte definierad, där emot sin0/0 är definierad.
klurig uppgift

Men cos(0) – sin(0) = 1

Arktos skrev:
Men cos(0) – sin(0) = 1

det stämmer, har nån av er kommit till en lösning hur ska man göra med x^2?
den cos0-sin0 =1/0 är inte definierad,

Vi har väl en mer allmän diskussion för tillfället. Uppgiften i sig är inte så komplicerad, men vi kan kanske tackla problemet först och fortsätta diskussionen i efterhand.

Om vi utvecklar till grad två så får vi att:

$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2}+O(x^3)$

$\sin(x) = 2x + O(x^3)$

Nu har vi:

$\dfrac{1 - \dfrac{x^2}{2} + 2x + O(x^3)}{x^2}$ då $x\rightarrow 0$ vilket jag tror du kan avsluta. :)

Tips: $O(x^3)$ går också mot $0$ .

Arktos skrev:

Numera kan man ju lätt skaffa sig en uppfattning om vartåt det lutar
genom att låta datorn rita grafen för uttrycket över något litet intervall som innehåller 0 .
Vilket bevisväde har en sådan figur?

Det spelar väl också roll vem man försöker övertyga eller bevisa. Att använda datorer till att rita upp ett gränsvärde kan ju vara tillräckligt beroende på funktionen. Men jag tycker det är annorlunda till att försöka approximera gränsvärden. Man får en bra idé ofta, men det kan ibland få väldigt fel.

Laguna skrev:

Konstaterar man att nämnaren går mot 0 och att täljaren går mot ett annat tal så är väl saken klar. Det liknar alltså cosx/x. Sådant som sinx/x kommer inte in i bilden.

Jag håller faktiskt inte med. cosx/x hade blivit 1/0, vad ska vi säga om detta gränsvärdet då? I detta fallet så existerar inte $\cos(x)/x$ då $x \rightarrow 0$ pga vad som händer vid $0^-$ och $0^+$ .

Sedan har man som fallet sinx/x som faktiskt existerar.

dp87 skrev:

Men cos0/0 är inte definierad, där emot sin0/0 är definierad.
klurig uppgift

Här blir det tokigt. $\cos(0) = 1$ . 1/0 är inte definierat. Division med 0 är aldrig OK. Du kan inte konkludera någonting alls från $1/0$ , $0/0$ , $\infty/ \infty$ situationer etc, det är mycket enkelt att hitta motexempel annars. $\sin(0)/0$ leder till $0/0$ vilket inte heller tillåter oss att fatta någon slutsats, det blir dock en kandidat för L'Hôpital's regel I vanliga fall, inte dock sinx/x då vi riskerar cirkelresonemang.

Ja, precis, det existerar inte. Det är svaret.

Dracaena skrev:

Arktos skrev:

Numera kan man ju lätt skaffa sig en uppfattning om vartåt det lutar
genom att låta datorn rita grafen för uttrycket över något litet intervall som innehåller 0 .
Vilket bevisväde har en sådan figur?

Det spelar väl också roll vem man försöker övertyga eller bevisa. Att använda datorer till att rita upp ett gränsvärde kan ju vara tillräckligt beroende på funktionen. Men jag tycker det är annorlunda till att försöka approximera gränsvärden. Man får en bra idé ofta, men det kan ibland få väldigt fel.

Laguna skrev:

Konstaterar man att nämnaren går mot 0 och att täljaren går mot ett annat tal så är väl saken klar. Det liknar alltså cosx/x. Sådant som sinx/x kommer inte in i bilden.

Jag håller faktiskt inte med. cosx/x hade blivit 1/0, vad ska vi säga om detta gränsvärdet då? I detta fallet så existerar inte $\cos(x)/x$ då $x \rightarrow 0$ pga vad som händer vid $0^-$ och $0^+$ .

Sedan har man som fallet sinx/x som faktiskt existerar.

dp87 skrev:

Men cos0/0 är inte definierad, där emot sin0/0 är definierad.
klurig uppgift

Här blir det tokigt. $\cos(0) = 1$ . 1/0 är inte definierat. Division med 0 är aldrig OK. Du kan inte konkludera någonting alls från $1/0$ , $0/0$ , $\infty/ \infty$ situationer etc, det är mycket enkelt att hitta motexempel annars. $\sin(0)/0$ leder till $0/0$ vilket inte heller tillåter oss att fatta någon slutsats, det blir dock en kandidat för L'Hôpital's regel I vanliga fall, inte dock sinx/x då vi riskerar cirkelresonemang.

Det låter rymligt, det är så häftigt med att man kan tänka på så många olika sätt kring en enda uppgift. Alla kan ha rätt på hur man vill lösa den. Men som du skrev det spela stor roll vem man försöker övertyga eller bevisa.

Laguna skrev:
Ja, precis, det existerar inte. Det är svaret.

Absolut, för cosx/x, men gränsvärdet i frågan går mot $\infty$ , så det håller fortfarande inte upp, men jag kanske inte tolkade dig korrekt?

Sen finns det klart nyanser till diskussionen "existerar ett gränsvärde om den går mot $\pm \infty$ ?"

Här är en ganska informativ tråd angående den biten: https://math.stackexchange.com/questions/127689/why-does-an-infinite-limit-not-exist

Jag förstår nog inte diskussionen, verkar det som.