Geometrisk summa - schackbrädet

Uppgiften jag skulle behöva hjälp med att lösa lyder:

"Sagan berättar om schackspelets uppfinnare, att han av Persiens kung som belöning lovades få vad han önskade. Han bad då att få 1 sädeskorn för första rutan på ett schackbräde, 2 för det andra, 4 för det tredje osv. För vart och ett av schackbrädets 64 rutor ville han ha dubbelt så mycket som för den närmast föregående.

Vi antar att 1000 sädeskorn väger 30 g och att världsproduktionen av säd var $2 \cdot 10^{12} k g / å r$

Hur många sädeskorn begärde uppfinnaren och vore det möjligt att skaffa fram så många?"

Föra att ta reda på hur många sädeskorn uppfinnaren begärde så skulle jag använda mig av formeln för geometrisk summa: $s_{n} = \frac{a (k^{n} - 1)}{k - 1} k \neq 1$

s=antal sädeskorn som uppfinnaren begärt eller summa, a=antal sädeskorn från början, k=kvot (hur förändringen ser ut), n=antal gånger som sädeskornen läggs ut eller antal termer i uträkningen av den geometriska summan (ifall man inte skulle använda formeln ovan)

a=1 eftersom antal sädeskorn på första rutan är 1, k=2 eftersom en fördubbling sker varje gång man ska lägga ut sädeskorn på en ny ruta, n=64 eftersom det finns 64 rutor

Sätter jag in värdena i formeln får jag fram detta:

$s_{64} = \frac{1 (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1$

Antal korn som uppfinnaren önskar sig är alltså $2^{64} - 1$

Minus ett korn är ju så lite att man kan bortse från det, men $2^{64}$ är ett stort tal som jag förmodar med råge överskrider dåvarande världsproduktion av säd.

Jag kan nu inte använda räknaren pga talets storlek. Hur ska jag komma vidare?

Jag har fått fram att det på 1 kg går ca 33 333 st sädeskorn, om det kan vara till någon användning? Eftersom 1000 sädeskorn väger 30 gram. 1000/0,03 $\approx$ 33 333

Jag läste samma legend för många år sedan
(fast då var det risgryn och Kinas härskare) och räknade då ut (för hand)
antalet risgryn till 18,446,744, 073,709,551,615 stycken ( = $2^{64} - 1$ )

Jag räknade också ut att så mycket risgryn skulle kunna täcka Sveriges yta
med ett 70 cm tjockt lager. Kolla gärna.

Vidare slutade legenden med att Kinas härskare blev vred och lät dräpt uppfinnaren.

-------------------------------------------------------------

Om 1000 sädeskorn väger 30 gram
så går det mycket riktigt 33333 korn på ett kilo.

18,446,744, 073,709,551,615 delat med 33333 = 553,407,856,289,848 kg

eller ca $5, 534 \cdot 10^{14}$ kg ( ung. 28 årsproduktioner )

(Stora tal, och annat, kan räknas med http://www.wolframalpha.com )

Tack för svar :-)

Jag har provat vidare och räknat på en grafritande räknare och då gick det ju fint att skriva in tiopotenser.

Det som larsolof skriver är helt riktigt förutom precis i sista delen, där det står att uppfinnaren begär ca 28 årsproduktioner av säd. Det är snarare så att han vill ha närmare 280 årsproduktioner av säd:

$\frac{5, 5 \cdot 10^{14}}{2 \cdot 10^{12}} \approx 275$

Så här har jag räknat ut svaret på problemet med hjälp av räknare, larsolof här på Pluggakuten, facit och en vän:

Formeln för geometrisk summa ger, liksom jag skrivit i första inlägget, att antalet sädeskorn som uppfinnaren begär är $2^{64} - 1$

När jag slår det på räknaren och trycker EXE får jag ca $1, 8 \cdot 10^{19}$ Detta är alltså antal sädeskorn uttryckt i grundpotensform (eller tiopotensform som det också kallas).

Delar jag detta med 1000 så får jag antal tusental sädeskorn:

$1, 8 \cdot 10^{16}$

Jag avrundar inte efter varje gång jag slår in något på räknaren, utan bara fortsätter slå in nästa operation för att få ett så rättvisande svar som möjligt.

Nästa steg är att multiplicera antal tusental sädeskorn med 0,03 (kg) dvs 30 gram.

Detta gör jag för att få reda på hur många kilo som alla dessa sädeskorn kan motsvara. Vi har ju fått veta att 1000 sädeskorn väger 30 gram.

Antal tusental sädeskorn multiplicerat med 0,03 är ungefär $5, 5 \cdot 10^{14}$ Nu har vi alltså fått fram antal kilo sädeskorn som uppfinnaren begärde.

Hur många årsproduktioner är detta? För att få veta svaret dividerar jag slutligen antal kilo säd med årsproduktionen av säd, som vi fått veta är $2 \cdot 10^{12}$ kg

$\frac{5, 5 \cdot 10^{14}}{2 \cdot 10^{12}} = 275$

Så då har vi fått veta att uppfinnaren begär $1, 8 \cdot 10^{19}$ sädeskorn och att det motsvarar ca 275 eller (avrundat) uppemot 300 årsproduktioner av säd. Det är alltså inte möjligt för Persiens kung att skaffa fram denna belöning.

Hej jag såg detta problem om Egypten och killen skulle visst ha dräpts. Svaret är detsamma.

Folk var bättre på egna beräkningar på den tiden då inga datorer och räknare fanns, man jag gissar att de fick sitta och dubbla 64 gånger om de inte hade annat sätt och det blir ju en massa siffror men rätt fort gjort jämförelsevis. Däremot kan man fundera på hur stor årsproduktionen var då, och hur den ändrade sig - deras resultat kan mycket väl ha varit annorlunda pga sånt - utan att minska värdet av de matematiska beräkningar man gjorde.

Svara

Visa senaste svar