Geometrin hos nivåkurvor
Hej,
Jag undrar varför geometrin hos f(x,y) = (x2+y2)1/2 blir en cirkulär kon, medan f(x,y) = (1-x2-y2)1/2, x2+y21 blir halvsfärisk.
Jag har förstått att det första uttrycket gör att cirklarna får precis den radie vi sätter efter likhetstecknet, vilket gör att lutningen ökar ''jämt''. I den andra får vi till att börja med ett område som begränsas av en cirkel med medelpunkten origo och radien 1. Sedan använde jag tal mellan 0 och 1 som nivåkurvor för att rita andra cirklar intuti (t.ex c= 1/2 och 1/4). Dessa gav mig radierna 0,866 respektive 0,968. Vi ser att 1/4 som är mindre än 1/2 ger en större radie. Betyder den ojämna, men ändå cirkulära ökningen, att formen blir ett klot?
Ett halvklot menade jag! Negativa värden var ej definierade.
Den första funktionen kan skrivas som z = x2+y2, d v s z = r2. Ju högre upp, desto större radie, d v s en cirkulär kon (med en speciell vinkel).
Den andra funktionen kan skrivas som z2 = 1-(x2+y2) eller som 1 = x2+y2+z2. Känner du igen sfären? (Det blir bara en halvsfär, eftersom man inte kan dra roten ut negativa tal.)
Tillägg: 11 sep 2022 12:05
Du har rätt i det där om klot i stället för sfär, eftersom du hade olikheter. Jag gillar inte olikheter (det är så lätt att de blir baklänges!) så jag räknar hellre på likheter och sätter dit rätt tecken efteråt. Så jag räknade på sfärer, inte klot.
Smaragdalena skrev:Den första funktionen kan skrivas som z = x2+y2, d v s z = r2. Ju högre upp, desto större radie, d v s en cirkulär kon (med en speciell vinkel).
Den andra funktionen kan skrivas som z2 = 1-(x2+y2) eller som 1 = x2+y2+z2. Känner du igen sfären? (Det blir bara en halvsfär, eftersom man inte kan dra roten ut negativa tal.)
Aha, nu ser jag! Dock har jag ett par frågor:
1. Ger C = x2+y2+z2 alltid en halvsfär? Dvs. kan du direkt se att det inte går att lösa ekvationen för negativa C:n?
2. När man skriver ekvationen på formen 1 = x2+y2+z2, hur gör man då när man tillskriver den nivåkurvor? Blundar man för 1:an som står på V.L och tänker att det står andra tal?
Tillägg: Jag kom på nu att det som står i V.L bara är ett resultat av vad som har subtraherats/adderats från H.L.
Jag tror att jag förstår nu. Vid nivåkurva C= 1, så innebär det inte att vi har en cirkel med radien 1, utan snarare att vi befinner oss på z= 1 axeln och ritar avståndet till origo. I xy-planet ser det dock ut som en cirkel.
Blåvalen skrev:Smaragdalena skrev:Den första funktionen kan skrivas som z = x2+y2, d v s z = r2. Ju högre upp, desto större radie, d v s en cirkulär kon (med en speciell vinkel).
Den andra funktionen kan skrivas som z2 = 1-(x2+y2) eller som 1 = x2+y2+z2. Känner du igen sfären? (Det blir bara en halvsfär, eftersom man inte kan dra roten ut negativa tal.)
Aha, nu ser jag! Dock har jag ett par frågor:
1. Ger C = x2+y2+z2 alltid en halvsfär? Dvs. kan du direkt se att det inte går att lösa ekvationen för negativa C:n?
2. När man skriver ekvationen på formen 1 = x2+y2+z2, hur gör man då när man tillskriver den nivåkurvor? Blundar man för 1:an som står på V.L och tänker att det står andra tal?
Tillägg: Jag kom på nu att det som står i V.L bara är ett resultat av vad som har subtraherats/adderats från H.L.
1. Nej, men den här gången skulle man dra roten ur HL. Vanligen får man ett helt klot.
2. Du kan rita en nivåkurva för f(x,y) = 0, en annan för f(x,y) = 0,1, en för f(x,y) = 0,2 och så vidare.
