Geometrikluring

Finns inte längre någon kluring-avdelning på PA? Alltså för problem som man själv vet svaret på men vill dela med andra.

Jag gick igenom geometriuppgifterna på antagningsprov till Danderyds matematikgymnasium och fastnade på flera sätt för en av dem. Andra kanske tycker att den är enkel; jag fick stora besvär. Men när jag väl hittade en lösning blev uppgiften skojig och figuren intressant för egenskaperna som framkom. Uppgiften kan lösas utan en enda beräkning eller införande av beteckningar (utöver en enkel division på slutet för att bestämma arean), bara genom att rita in ett antal sträckor och betrakta de uppkomna småtrianglarna. Enkelt och klurigt på samma gång, som jag tycker att en bra kluring ska vara. Det är därför jag vill dela den vidare.

Härligt problem!

Visa spoiler

Areorna av trianglarna $BDE$ , $CEF$ och $AFD$ är hälften av arean hos $DEF$ . Samtidigt är areorna av trianglarna $ABD$ , $BCE$ och $CAF$ hälften av arean av $BDE$ , $CEF$ respektive $AFD$ . Tillsammans partionerar dessa arean av $\triangle ABC$ :

$[ABC] = 3 \cdot \frac{[DEF]}{4} + 3 \cdot \frac{[DEF]}{2} + [DEF] = \frac{13[DEF]}{4}.$

( $[XYZ]$ betecknar arean av triangel $XYZ$ .)

Det gick fort! Skojigt med flera lösningar!

flera lösningar

Nu blir man lite nyfiken...

Grundprincipen är förstås densamma. Fler trianglar, men inte ens bråkräkning behövs :)

Visa spoiler

De ljusblå trianglarna har samma area (gemensam höjd mod AE, lika långa baser).
De är också lika stora som den blå (av samma skäl, men nu med höjd mot BF).
På samma sätt med de gröna och rosa trianglarna.
Trianglarna inom DEF är också inbördes lika stora (kan enkelt visas).
Alltså är alla de 13 småtrianglarna lika stora och A_DEF = 4/13 av A_ABC.

Louis skrev:
Finns inte längre någon kluring-avdelning på PA?

Inte vad jag kommer ihåg. Vad utgör en "klurig"? 99.9% av geometriska problem från studentexamen (m/ä) är svåra och kluriga om man inte ser lösningen.

Andy hade en adventkalender där han tog en bråkdel av en stor samling problem (som finns på nätet)

https://www.youtube.com/watch?v=yuHB2_G4VXA

Det har funnits en avdelning Kluringar för problem som man själv vet svaret på men som man vill dela med andra.

Tack för länken!

Louis skrev:
Grundprincipen är förstås densamma. Fler trianglar, men inte ens bråkräkning behövs :)

Visa spoiler

De ljusblå trianglarna har samma area (gemensam höjd mod AE, lika långa baser).
De är också lika stora som den blå (av samma skäl, men nu med höjd mot BF).
På samma sätt med de gröna och rosa trianglarna.
Trianglarna inom DEF är också inbördes lika stora (kan enkelt visas).
Alltså är alla de 13 småtrianglarna lika stora och A_DEF = 4/13 av A_ABC.

Oj, ja det var en elegant lösning! :O

Kan erinra mig att det fanns en kategori ämnad åt just utmaningar och dylikt. Någon som vet varför den togs bort?

En sådan kategori låter superkul att ha! Synd att den togs bort

Snyggt problem. Jag lyckades komma på en lösning när ett liknande (men lättare) problem jag sett förut dök upp i huvudet:

En åkermark är avgränsad av ett staket och två bönder äger marken på varsin sida. Vid staketets ena början finns en kran. De två bönderna vill göra om gränsen till att vara en rät linje, men de behöver båda ha tillgång till kranen, och de vill att båda ska ha lika stor yta som förut. Hur kan gränsen ritas om?

Taget från: https://nrich.maths.org/problems/farmers-field-boundary

Svara

Visa senaste svar