Geometri/topologi: hur många bilder av en kurva behöver man för att bestämma den?

Hej!

Hur definierar du "kurva" i detta sammanhang? Vad menar du med "bestämma dess form"?

Kurva: (x(t), y(t), z(t) med parameter t: 0->1. Kräver x, y, z släta samt (x(0), y(0), z(0))=(x(1), y(1), z(1)). Som vanligt helt enkelt.

Bestämma betyder att bestämma mängden av punkter som kurvan består av.

(Jag frågar egentlugen för att jag inte vet hur jag ska googla detta på engelska, jag tror inte frågan är originell)

Qetsiyah skrev:

Kurva: (x(t), y(t), z(t) med parameter t: 0->1. Kräver x, y, z släta samt (x(0), y(0), z(0))=(x(1), y(1), z(1)). Som vanligt helt enkelt.

Bestämma betyder att bestämma mängden av punkter som kurvan består av.

Ok. Enligt mig är en minst lika vanlig definition av kurva att låta definitionsmängden vara vad man vill. Exempelvis så är kurvorna (tar planet som ett exempel) $\gamma_1 \neq \gamma_2$ om $\gamma_1=\left(\cos(t), \sin(t)\right), \gamma_1: I_1 \to\mathbb{R}^2, I_1=\left[0,2\pi\right)$ och $\gamma_2=\left(\cos{\left(2\pi t\right)}, \sin{\left(2\pi t\right)}\right), \gamma_2: I_2\to\mathbb{R}^2, I_2=\left[0,1\right)$.

Detta skulle göra det omöjligt att avgöra om två kurvor är lika av att bara se deras "trace" i planet.

Att ta [0,1] för en opsecificerad kurva är väl ändå vanligare?

Okej men då säger jag det nu att två kurvor är lika omm deras bild i R3 är samma.

Låt kurva 1 vara en vanlig cirkel och kurva 2 vara först en vanlig cirkel och sedan någon krumelur inuti cirkeln. De bör ha samma projektion på linje oavsett linjen. Ett öga utanför ser bara den yttre cirkeln, och ett öga innanför är "fångat" och ser något i varje riktning oavsett kurva.

Angående dina två definitioner av projektion, det kan vara värt att kika lite på projektiva plan, linje och projektion för att se att de med "rätt" definition är samma.