Geometri kluring

hej! Har stött på ett problem i min geometrikers som jag inte lyckas lösa. Problemet är följande:

”Från en punkt utanför en cirkel dras två tangenter till cirkeln. Kordan mellan tangerings- punkterna är 14 cm. Kordan delar cirkeln i två segment, det minsta av segmenten har höjden 3.5 cm. Bestäm aren av den triangel som har tangenterna och kordan som sidor.”

hade varit tacksam för hjälp

Har du ritat en bild?

Kan du räkna ut r (cirkelns radie)?

Alfredsjo skrev:
Ja

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Tips: Kordasatsen.

Laguna skrev:
Kan du räkna ut r (cirkelns radie)?

Eller om man säger så här: kan du ställa upp ekvationer för längderna MA och MB?

Yn

Hej och välkommen till Pluggakuten!
Tips: Kordasatsen.

Har ju bara en korda (AC), måste väl ha två för att kunna använda den?

(Laguns) Vet inte hur det sambandet skulle se ut eller vad för nytta det skulle göra. Enl lärare kan jag inte säga att AB=7 vilket gör det hela irrelevant? Rätta mig om jag har fel. Hittade annars en formel för radien men inget jag får använda mig av.

Jag skulle nog säga att AB=7. Så jag ger mig.

Alfredsjo skrev:
Ja

Hej!

Kordan AC skär linjen MP i punkten B.

Anta att kordan AC är vinkelrät mot linjen MP. (Detta behöver motiveras.)

Då är triangeln ABP likformig med triangeln AMP och med triangeln AMB.

För triangeln AMB är kvoten MB/MA lika med $(r-3,5)/r$ där $r$ betecknar cirkelns radie och arean för triangeln AMB är $(AB\cdot MB)/2$ som är lika med $7\cdot(r-3,5)/2 = 3,5(r-3,5)$ . (Motivera varför AB = 7).

Areaskalan är lika med längdskalan i kvadrat, vilket medför att triangeln ABP har en area som är lika med

$\displaystyle 3,5(r-3,5)\cdot (\frac{r-3,5}{r})^2$

Alfredsjo skrev:
Har ju bara en korda (AC), måste väl ha två för att kunna använda den?

Låt den andra kordan vara den diameter som går genom punkterna M och B.

Eftersom vi vet att vinklarna MAP och MBP är mötet mellan tangenten till en cirkel och radien till cirkeln vet vi att dessa två vinklar är räta. Vi har då två rätvinkliga trianglar MAP och MBP som båda har en katet = r och hypotenusa MP. Dessa är alltså varandras spegelbilder. Det innebär alltså att AB = BC =AC/2 = 14/2=7 cm. (Så det går visst att säga).

Vi har då den rätvinkliga triangeln MAB där vi vet att hypotenusan är r korta kateten är (r-3,5) och den långa kateten är 7. Detta ger oss r.

Eftersom trianglarna ABP och AMB är likformiga (de är båda rätvinkliga och delar vinkeln AMP = AMB) kan vi lätt ställa upp likheten $\frac{7}{r - 3, 5} = \frac{B P}{7}$ Eftersom vi vet r kan vi därmed beräkna höjden BP och därmed en enkel beräkning $\frac{14 (B P)}{2}$ för att hitta vår area.

Svara

Visa senaste svar