Geometri: kan man veta en kurvas längd om man vet värdet av integralen av dess krökningsradie?

Hej.

Tag en deriverbar kurva i $\mathbb{R}^2$ : $t\mapsto (x(t), y(t)), t \in [a,b]$ . Vi vet värdet av följande integral:

$\int_{k u r v a} \frac{1}{K (t)} d t = \int_{a}^{b} \frac{{(x' {(t)}^{2} + y' {(t)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{|x' (t) y'' (t) - y' (t) x'' (t)|} d t$ ,

vet vi då värdet av

$\int_{a}^{b} \sqrt{x' {(t)}^{2} + y' {(t)}^{2}} d t$

Mer generellt, vilka krav behöver vi ställa på två funktioner $f$ , $g$ (utom att vara integrearbara i intervallet) för att funktionen $h$ i $\displaystyle \int_a^bf(x)dx=h(\int_a^bg(x)dx)$ ska kunna betämmas explicit?

Intuitivt så skulle jag säga nej, om vi har en linje så är ju krökningen noll och radien "oändlig" (vi kan ta något väldigt nära en linje om vi vill ha ändlig krökningsradie). Så genom att skarva på en väldigt kort "nästan linje" så kan jag få stor förändring på integralen av krökningsradien. Så ta två kurvor av olika längd, beräkna deras 1/k integraler, och om de inte är lika, så kan vi skarva med en epsilon-lång nästan linje på den med minst integralvärde. Det borde gå att konstruera ett explicit exempel därifrån.

Vanligen så brukar man titta på totala krökningen av en kurva (dvs integralen av K och inte 1/K). Den har en ofta många intressanta egenskaper, ett bra exempel kan vara att för en plan kurva (som inte skär sig själv) så är totalkrökningen minst 2pi, med likhet endast för konvexa kurvor. I rummet så har vi exempelvis Fary-Milnors teorem som säger att varje (sluten icke-självskärande) kurva med totalkrökning högst 4pi går att kontinuerlig omforma till en cirkel (dvs den är inte knuten).

Svara