Geometri, hur lång är sträckan

Skriv ner uttryck för den stora cirkelns area och summan av de två inskrivna cirklarnas area. Det finns en enda parameter (radien) som bestämmer hur stora de inskrivna cirklarnas area är -- man kan kalla den för r. Som uppgiften är formulerad måste man nog anta att den stora cirkeln har radien 1. Du kan sedan plocka sträckan AB med pythagoras. Prova lite och se om du kommer framåt och säg till om du vill ha mer hjälp.

Redigerat: OBS: Det är fel att anta att stora radien är 1, och uppgiften har inte ens någon lösning där -- se nedan.

PeBo skrev :

Skriv ner uttryck för den stora cirkelns area och summan av de två inskrivna cirklarnas area. Det finns en enda parameter (radien) som bestämmer hur stora de inskrivna cirklarnas area är -- man kan kalla den för r. Som uppgiften är formulerad måste man nog anta att den stora cirkeln har radien 1. Du kan sedan plocka sträckan AB med pythagoras. Prova lite och se om du kommer framåt och säg till om du vill ha mer hjälp.

Vad gör att du antar?

"Som uppgiften är formulerad måste man nog anta att den stora cirkeln har radien 1."

Nja... @larsolof -- jag fick en känsla av att det var meningen eftersom arean 2 annars blir en funktion av den radien, men du har rätt -- det behöver man inte anta -- och det är nog kanske fel att göra det. jag ser inte omedelbart vilka värden på stora radien som är möjliga -- måste papper och penna den. :/

Redigering: Det är inte ens säkert att den stora radien kan vara 1. Den måste man också ha koll på.

Ok , jag tänker att den stora cirkeln har radie=1 vilket gör sträckan CD=2. Arean på den stora cirkeln =3.14 

vilket gör summan av arean på de 2 blå cirklarna 1.14.

om jag med detta kan lista ut den enskilda radien på någon av de blå cirklarna kan jag använda radien x2 på den lilla cirkeln för att få en katet? stämmer detta?

PeBo skrev :

Nja... @larsolof -- jag fick en känsla av att det var meningen eftersom arean 2 annars blir en funktion av den radien, men du har rätt -- det behöver man inte anta -- och det är nog kanske fel att göra det. jag ser inte omedelbart vilka värden på stora radien som är möjliga -- måste papper och penna den. :/

Redigering: Det är inte ens säkert att den stora radien kan vara 1. Den måste man också ha koll på.

Ok, nu är jag borta igen

Jag har svårt med den här uppgiften, hittar inte lösningen (än).
Men ber Slowgold kolla uppgiften igen, finns det något mer som
står i uppgiften som inte kommit med?

larsolof skrev :

Jag har svårt med den här uppgiften, hittar inte lösningen (än).
Men ber Slowgold kolla uppgiften igen, finns det något mer som
står i uppgiften som inte kommit med?

Bild på hela uppgiften, ifall jag citerat fel

Allt är ju med i det du skrev från början. Jag tänker vidare på detta. Men det kommer nog ingen lösning ikväll. Svår uppgift.

Nja, så grisig är den inte (om man inte geggar till det som jag gjorde) -- ber om ursäkt för det. Tänk att stora cirkeln har radien R och en liten cirkel har radien r, då har den andra lilla cirkeln radien R-r, och man kan skriva den stora cirkelns area som ${\mathrm{\pi R}}^2$ och de små cirklarna som ${\mathrm{\pi r}}^2$ och $\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}-\mathrm{r}\right)}^2$, och skillnaden i area är 2. Räknar man areor får man då ${\mathrm{\pi R}}^2-2={\mathrm{\pi r}}^2+\mathrm{\pi }(\mathrm{R}-\mathrm{r}{)}^2$ och genom att flytta runt saker och lösa för r får man $r=\frac{R}{2}\pm \sqrt{\frac{R^2}{4}-\frac{1}{\mathrm{\pi }}}$, så att man har reella lösningar för $R\ge \frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$.  Sen känns det som att avståndet från O till A är R, och vinkelräta avståndet till linjen från O är R - 2r för den mindre r. Lite skissartat, men jag tror det går att komma fram den vägen. Säg till om jag ska fylla i luckorna.

Ok tack. Jag tänker spontant att denna känns väldigt klurig som  ma2 uppgift hehe.

Men jag vill minnas något om enhetscirkel och de har centrum i origo och radien på den är = 1 måttenhet.

Jag kanske är helt ute och cyklar. Tacksam för hjälpen iaf 

Kordasatsen är nog en framkomlig väg här.

PeBo skrev :

Nja, så grisig är den inte (om man inte geggar till det som jag gjorde) -- ber om ursäkt för det. Tänk att stora cirkeln har radien R och en liten cirkel har radien r, då har den andra lilla cirkeln radien R-r, och man kan skriva den stora cirkelns area som ${\mathrm{\pi R}}^2$ och de små cirklarna som ${\mathrm{\pi r}}^2$ och $\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}-\mathrm{r}\right)}^2$, och skillnaden i area är 2. Räknar man areor får man då ${\mathrm{\pi R}}^2-2={\mathrm{\pi r}}^2+\mathrm{\pi }(\mathrm{R}-\mathrm{r}{)}^2$ och genom att flytta runt saker och lösa för r får man $r=\frac{R}{2}\pm \sqrt{\frac{R^2}{4}-\frac{1}{\mathrm{\pi }}}$, så att man har reella lösningar för $R\ge \frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$.  Sen känns det som att avståndet från O till A är R, och vinkelräta avståndet till linjen från O är R - 2r för den mindre r. Lite skissartat, men jag tror det går att komma fram den vägen. Säg till om jag ska fylla i luckorna.

ok jag ska prova lite 

Sätt stora blå radie = R
Sätt lilla blå radie = r
Det ger stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r

stora vita area - stora  blå area - lilla blå area = 2

$\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}+\mathrm{r}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\right)}^2 = 2$

detta leder fram till  $\mathrm{R} · \mathrm{r} = \frac{1}{\mathrm{\pi }}$

sedan fuskar jag, gissar ett värde på R=1     (=stora blå radie)
så får man ju inte göra i matte, men nu gör jag det.....

då blir lilla blå radie  =  r  =  $\frac{1}{\mathrm{\pi }}$

Kallar mittpunkten mellan A och B för M

OMB är en rätvinklig triangel med:
hypotenusa = stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r = $1 + \frac{1}{\mathrm{\pi }}$
lodrät katet = stora vita radie - lilla blå r - lilla blå r = $1 - \frac{1}{\mathrm{\pi }}$
vågrät katet = MB = halva AB

pythagoras sats ger MB = $\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

och sträckan AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

Tipset från Mattekalle gör att jag slipper fuska som i förra inlägget.

Nämligen "Kordasatsen är nog en framkomlig väg här"

Kalla punkten mitt mellan A och B för M
Kalla punkten högst upp på den lodräta diagonalen för E

Då är AB och DE två kordor som korsar varandra i punkten M

Kordasatsen ger:    DM x ME = AM x MB

Sätt stora blå radie = R
Sätt lilla blå radie = r
Det ger stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r

stora vita area - stora  blå area - lilla blå area = 2

$\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}+\mathrm{r}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\right)}^2 = 2$

detta leder fram till  R ⋅ r = $\frac{1}{\mathrm{\pi }}$

Multiplicera till 2 gånger 2 här:

$2 · \mathrm{R} · 2 · \mathrm{r} = 2 · 2 · \frac{1}{\mathrm{\pi }}$

VL är = VL i kordasatsen ovan = DM x ME 

och HL = $\frac{4}{\mathrm{\pi }}$ = HL i kordasatsen ovan = AM x MB

och då AM och MB är lika långa så är AM = MB = $\sqrt{\frac{4}{\mathrm{\pi }}}$ = $\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

och då är AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

Man landar på samma resultat om man grisar sig fram med den mindre av rötterna i min algebraiska modell också -- jag tycker dock att @larsolof och @mattekalle gör det snyggare med kordasatsen, så jag skulle kanske föredra den lösningen och anar att det är den det är "meningen" att man ska hitta fram till.

Lägg märke till att larsolof använder R och r för de två inre cirklarna, medan jag har R för den yttre cirkeln och de två rötterna r är de två små cirklarnas radier.

Tack för hjälpen allihop. Nu ska jag försöka förstå det här

När vi nu med korda-satsen räknat ut längden av sträckan AB så ville jag räkna ut storleken
av de tre cirklarna. Det går inte!! Det beror på att arean av det vita området är givet, och
då blir AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$  och detta oberoende av de två blå cirklarnas storlek. Rätt fantastiskt!
I alla tre figurerna är det vita området = 2 och sträckan AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$ 
medan R och r varierar (avrundade mått).
Figur 1:    R=1                                        Figur 2:    R=1.492705                       Figur 3:    R=0.5641896
                  r=0,318310                                            r=0.213244                                         r=0,5641896

larsolof skrev :

När vi nu med korda-satsen räknat ut längden av sträckan AB så ville jag räkna ut storleken
av de tre cirklarna. Det går inte!! Det beror på att arean av det vita området är givet, och
då blir AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$  och detta oberoende av de två blå cirklarnas storlek. Rätt fantastiskt!
I alla tre figurerna är det vita området = 2 och sträckan AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$ 
medan R och r varierar (avrundade mått).
Figur 1:    R=1                                        Figur 2:    R=1.492705                       Figur 3:    R=0.5641896
                  r=0,318310                                            r=0.213244                                         r=0,5641896

Vad rolig!  Jag tror jag förstår mesta men  jag kalvar till det när:

π(2R+2r)²-π(R)²-π(r)²=2

leder fram till R×r=1/π 

Det står inte (2R+2r) i parentesen

larsolof skrev :

Sätt stora blå radie = R
Sätt lilla blå radie = r
Det ger stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r

stora vita area - stora  blå area - lilla blå area = 2

$\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}+\mathrm{r}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\right)}^2 = 2$

detta leder fram till  $\mathrm{R} · \mathrm{r} = \frac{1}{\mathrm{\pi }}$

sedan fuskar jag, gissar ett värde på R=1     (=stora blå radie)
så får man ju inte göra i matte, men nu gör jag det.....

då blir lilla blå radie  =  r  =  $\frac{1}{\mathrm{\pi }}$

Kallar mittpunkten mellan A och B för M

OMB är en rätvinklig triangel med:
hypotenusa = stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r = $1 + \frac{1}{\mathrm{\pi }}$
lodrät katet = stora vita radie - lilla blå r - lilla blå r = $1 - \frac{1}{\mathrm{\pi }}$
vågrät katet = MB = halva AB

pythagoras sats ger MB = $\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

och sträckan AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

Jag har också fastnat på denna uppgift! Men jag hänger inte med i hur ni kom fram till vad svaret blir?? 

jeccie skrev :

larsolof skrev :

Sätt stora blå radie = R
Sätt lilla blå radie = r
Det ger stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r

stora vita area - stora  blå area - lilla blå area = 2

$\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}+\mathrm{r}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\right)}^2 = 2$

detta leder fram till  $\mathrm{R} · \mathrm{r} = \frac{1}{\mathrm{\pi }}$

sedan fuskar jag, gissar ett värde på R=1     (=stora blå radie)
så får man ju inte göra i matte, men nu gör jag det.....

då blir lilla blå radie  =  r  =  $\frac{1}{\mathrm{\pi }}$

Kallar mittpunkten mellan A och B för M

OMB är en rätvinklig triangel med:
hypotenusa = stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r = $1 + \frac{1}{\mathrm{\pi }}$
lodrät katet = stora vita radie - lilla blå r - lilla blå r = $1 - \frac{1}{\mathrm{\pi }}$
vågrät katet = MB = halva AB

pythagoras sats ger MB = $\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

och sträckan AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

Jag har också fastnat på denna uppgift! Men jag hänger inte med i hur ni kom fram till vad svaret blir?? 

Läs inte mitt inlägg den 15 jan 2018 som du har citerat ovan och
där texten "sedan fuskar jag, gissar ett värde på R=1" ingår.

Läs istället mitt sista inlägg den 15 jan 2018. Det är utförligt och korrekt.
Läs det och rita din egen figur samtidigt som du går igenom texten långsamt
så hänger du nog med. Och om du inte gör det, så precisera hur långt du hänger
med och vad som är oklart.

larsolof skrev :

Tipset från Mattekalle gör att jag slipper fuska som i förra inlägget.

Nämligen "Kordasatsen är nog en framkomlig väg här"

Kalla punkten mitt mellan A och B för M
Kalla punkten högst upp på den lodräta diagonalen för E

Då är AB och DE två kordor som korsar varandra i punkten M

Kordasatsen ger:    DM x ME = AM x MB

Sätt stora blå radie = R
Sätt lilla blå radie = r
Det ger stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r

stora vita area - stora  blå area - lilla blå area = 2

$\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}+\mathrm{r}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\right)}^2 = 2$

detta leder fram till  R ⋅ r = $\frac{1}{\mathrm{\pi }}$

Multiplicera till 2 gånger 2 här:

$2 · \mathrm{R} · 2 · \mathrm{r} = 2 · 2 · \frac{1}{\mathrm{\pi }}$

VL är = VL i kordasatsen ovan = DM x ME 

och HL = $\frac{4}{\mathrm{\pi }}$ = HL i kordasatsen ovan = AM x MB

och då AM och MB är lika långa så är AM = MB = $\sqrt{\frac{4}{\mathrm{\pi }}}$ = $\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

och då är AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

hänger med från början fram tills detta kommer (stora vita area - stora blå area - lilla blå area = 2)

Det står i uppgiften att "...Arean av det vita området i figuren är 2...", så om du undrar varifrån 2:an kommer så är det därifrån. Annars är det enkelt i princip, men det är lite olyckligt att säga "stora vita area"  när det egentligen handlar om hela stora cirkelns area, för stora yttre cirkeln, minus de två inre cirklarna ska vara 2.

Jaha, nu hänger jag med, tack!

larsolof skrev :

Tipset från Mattekalle gör att jag slipper fuska som i förra inlägget.

Nämligen "Kordasatsen är nog en framkomlig väg här"

Kalla punkten mitt mellan A och B för M
Kalla punkten högst upp på den lodräta diagonalen för E

Då är AB och DE två kordor som korsar varandra i punkten M

Kordasatsen ger:    DM x ME = AM x MB

Sätt stora blå radie = R
Sätt lilla blå radie = r
Det ger stora vita radie = (2R+2r)/2 = R+r

stora vita area - stora  blå area - lilla blå area = 2

$\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}+\mathrm{r}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{R}\right)}^2 - \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\right)}^2 = 2$

detta leder fram till  R ⋅ r = $\frac{1}{\mathrm{\pi }}$

Multiplicera till 2 gånger 2 här:

$2 · \mathrm{R} · 2 · \mathrm{r} = 2 · 2 · \frac{1}{\mathrm{\pi }}$

VL är = VL i kordasatsen ovan = DM x ME ???

och HL = $\frac{4}{\mathrm{\pi }}$ = HL i kordasatsen ovan = AM x MB

och då AM och MB är lika långa så är AM = MB = $\sqrt{\frac{4}{\mathrm{\pi }}}$ = $\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

och då är AB = $\frac{4}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}$

Hänger ej med från frågetecknet och  ner??

VL (vänstra ledet)  =  $2 · \mathrm{R} · 2 · \mathrm{r}$  = VL i kordasatsen ovan = DM x ME

DM är diametern i lilla blå cirkeln = $2 · \mathrm{r}$
ME är diametern i stora blå cirkeln = $2 · \mathrm{R}$
DM x ME = $2 · \mathrm{R} · 2 · \mathrm{r}$

Kordasatsen ger: DM x ME = AM x MB

larsolof skrev :

VL (vänstra ledet)  =  $2 · \mathrm{R} · 2 · \mathrm{r}$  = VL i kordasatsen ovan = DM x ME

DM är diametern i lilla blå cirkeln = $2 · \mathrm{r}$
ME är diametern i stora blå cirkeln = $2 · \mathrm{R}$
DM x ME = $2 · \mathrm{R} · 2 · \mathrm{r}$

Kordasatsen ger: DM x ME = AM x MB

 

Nu hänger jag med tack!