Geometri för snurra då precession är omöjlig

Spännande fråga, kom ihåg att precession är en stabilitetsanalys. Jag skulle betrakta relation (7/30) från Meriam & Kraige, upprepad här med relevant notation:

$\Omega =\frac{I_{\zeta \zeta }p}{(I_{\xi \xi }-I_{\zeta \zeta })\cos \theta }$

Detta innebär alltså att geometrin gör att precessionshastigheten går mot oändligheten om $I_{\xi \xi }-I_{\zeta \zeta }=0$. Alltså är det omöjligt för strukturen att ha en stabil precession, den kommer bli instabil och den kommer ramla.

När strukturen snurrar i rymden finns ingen instabilitetspunkt.

Aaah, jag förstår! Var så insnöad på att jag skulle ha att precessionen var noll, tänkte inte på att precession kan vara omöjlig åt andra hållet också! Tack för ditt svar :)

Vid närmare eftertanke... Uttrycket (7/30) i MK är ju framtaget under förutsättningen att det inte finns något moment. Men då en snurra står på ett bord ger ju tyngdkraften eller normalkraften upphov till ett moment. Använder vi uttrycket (7/30) ändå för att den ger information om en geometri som skulle ge instabil precession, trots att just det uttrycket inte stämmer för denna situation?

Hm, ja, jag blandade nog ihop några olika analyser här. Relation (7/30) är relevant när den snurrar i rymden och ska ge för denna struktur sambandet:

$h/r=\sqrt{3/2}$

Detta kan du se i svaret på uppgift 7/104 i utgåva 7 av Meriam och Kraige. Jag är dock fundersam på om jag missat något. Jag får att:

$$\begin{gathered} I=\frac{3}{10}m{r}^2 \\ {I}_0=\frac{1}{20}m(3r^2+32h^2) \end{gathered}$$

Detta ger inte ovan relation. Är det fel tröghetsmoment? Innan vi kan fortsätta diskussionen skulle jag uppskatta om du presenterar lite uträkningar. 

Ja jag tror tröghetsmomentet blir fel, av någon anledning. Beräkning av tröghetsmoment för "icke-enkla" kroppar (ringar, skivor osv) ingår inte i vår kurs, så jag har använt mig av tabellvärdet av tröghetsmomentet (dvs, googlat fram det). Men jag tror jag förstår var det blir fel för dig, för Wikipedia ger ett tröghetsmoment m.a.p. konens topp som med Steiners sats/parallellförflyttning ger samma tröghetsmoment som du har fått. Men på den här sidan får de ett annat tröghetsmoment kring basen, nämligen det som ger rätt svar i uppgiften. Som sagt har jag inte satt mig in i tröghetsmomentsberäkningar, så det bästa jag kan komma med är denna tråd där någon råkat beräkna tröghetsmoment m.a.p. på toppen, och får Wikipedias svar, men m.h.a. ett svar i tråden får rätt tröghetsmoment m.a.p. basen, samma som på den andra sidan jag länkade. 

Jag vet inte varför det blir fel när man använder Steiners...

Jag kom på att det antagligen är för att Steiners är definierad för förflyttning mellan masscentrum och godtycklig axel. Varken spets eller bas är masscentrum för en kon, varför det blir fel masströghetsmoment. Jag ska laborera lite och återkomma.

Aah såklart! Förresten, jag vet att lösningen till den andra deluppgiften är att man likställer tröghetsmomenten för de olika axlarna som i första den första deluppgiften, men att tröghetsmomentetn tas med avseende på snurrans kontaktpunkt med bordet. Jag förstår dock inte varför det blir så.

Se nedan för härledning av tröghetsmomenten vi diskuterade om det är intressant. Det som du säger betyder att vi tar moment kring kontaktpunkten vilket är synonymt med att om vi tvingar precessionen till noll tvingar vi kontaktpunkten att vara i vila. 

Jag funderade lite på detta häromdagen, vad är det för krav vi ställer på systemet? Att säga att momenten kring masscentrum är lika med noll är inte ett tillräckligt starkt krav som styr resultatet. Det är starkare att säga att kontaktpunkten är i vila. Annars blir det, som du upptäckte, exakt likadant som när du är i rymden vilket är orimligt. För precession av denna struktur kommer masscentrum vara i vila och kontaktpunkten kommer röra sig en cirkel på planet. 

Det blev lite som att tänka; vad kom först - hönan eller ägget? Precession är nämligen något som har med en initial imperfektion av läget relativt ett vertikalt läge att göra. Vid perfekt vertikalt läge kommer alla strukturer att ha noll precession vilket gör att samtliga kommer ge samma resultat som i rymden. Lite rörigt förklarat men jag hoppas du förstår annars får du be mig förtydliga.

Jag får se om jag förstår dig rätt...

För att kunna studera när precessionen blir noll måste vi ställa krav på systemet. Med kravet att det är momentfritt kring masscentrum får vi samma resultat som i första deluppgiften, men detta räcker inte för att göra precession omöjlig. Det vill säga, visst får vi nollprecession då snurran står rakt upp, men vi kan också få någon annan precession med exakt samma geometri - då masscentrum är i vila och kontaktpunkten cirkulerar (det inser man lät genom att genomföra momentekvationen som uppstår då kontaktpunkten cirkulerar). Kravet vi vill ställa är alltså att kontaktpunkten är i vila, för det utesluter fallet då kontaktpunkten cirkulerar. 

Därför vill vi alltså säga att momentet m.a.p. kontaktpunkten skall vara noll. Har jag förstått dig rätt? Det måste alltså vara så att momentet bestäms med avseende på en fix punkt i det här fallet? Annars fungerar ju inte resonemanget om att vi vill att kontaktpunkten är fix och att det är därför vi väljer den som momentpunkt. 

Till sist: Hur blir det med rörelsen? Om vi sätter att tröghetsmomenten kring de olika axlarna blir lika, får vi alltså nollprecession, och inte "oändlig" precession eller hur? Så det blev nollprecession i båda fallen i den här uppgiften.

Ebola skrev:

Se nedan för härledning av tröghetsmomenten vi diskuterade om det är intressant. Det som du säger betyder att vi tar moment kring kontaktpunkten vilket är synonymt med att om vi tvingar precessionen till noll tvingar vi kontaktpunkten att vara i vila. 

Jag funderade lite på detta häromdagen, vad är det för krav vi ställer på systemet? Att säga att momenten kring masscentrum är lika med noll är inte ett tillräckligt starkt krav som styr resultatet. Det är starkare att säga att kontaktpunkten är i vila. Annars blir det, som du upptäckte, exakt likadant som när du är i rymden vilket är orimligt. För precession av denna struktur kommer masscentrum vara i vila och kontaktpunkten kommer röra sig en cirkel på planet. 

Det blev lite som att tänka; vad kom först - hönan eller ägget? Precession är nämligen något som har med en initial imperfektion av läget relativt ett vertikalt läge att göra. Vid perfekt vertikalt läge kommer alla strukturer att ha noll precession vilket gör att samtliga kommer ge samma resultat som i rymden. Lite rörigt förklarat men jag hoppas du förstår annars får du be mig förtydliga.

Härledning

Vi har enligt Steiners att:

$I=I_{mc}+m{d}^2$

Detta ger för vår kon att:

$$\begin{gathered} I_{spets}=I_{mc}+m(\frac{3}{4}h{)}^2 \\ {I}_{bas}=I_{mc}+m(\frac{1}{4}h{)}^2 \end{gathered}$$

Således får vi:

$I_{bas}=I_{spets}+\frac{1}{16}m{h}^2-\frac{9}{16}m{h}^2$

Slutligen får vi då:

$I_{bas}=\frac{3}{20}m(r^2+4h^2)-\frac{1}{2}m{h}^2=\frac{1}{10}m{h}^2+\frac{3}{20}m{r}^2$

I detta fall har vi ju två koner, vilket gör att den gemensamma tyngdpunkten hamnar vid basen. Hur blir det då? Blir inte tröghetsmomentet vid basen $2(3/20m{r}^2+1/10m{h}^2)$?

Matte357 skrev:

I detta fall har vi ju två koner, vilket gör att den gemensamma tyngdpunkten hamnar vid basen. Hur blir det då? Blir inte tröghetsmomentet vid basen $2(3/20m{r}^2+1/10m{h}^2)$?

Den totala massan för två koner med massa $m$ är $2m$. Så om vi istället designerar den stora massan som $M$ får vi:

$I_{bas}=\frac{1}{10}M{h}^2+\frac{3}{20}M{r}^2$

pixisdot skrev:

Jag får se om jag förstår dig rätt...

Du förstod helt rätt vad jag menade. Om både masscentrum och kontaktpunkten är fix har vi ingen precession. Vi måste införa kravet att momentet är noll relativt kontaktpunkten för att fixera den i detta system.

Till sist: Hur blir det med rörelsen? Om vi sätter att tröghetsmomenten kring de olika axlarna blir lika, får vi alltså nollprecession, och inte "oändlig" precession eller hur? Så det blev nollprecession i båda fallen i den här uppgiften.

Jag blandade ihop detta med en helt annan analys så absolut är det nollprecession i båda fallen som du beskrev från början. Det är bara frågan om vilket krav vi ska ställa.

Tack för hjälpen!