Geometri - Bevis

Har grubblat över en egen frågeställning ett tag och jag tror jag har ett bevis. Men hur hade ni bevisat T3+T4=T2?

Själv lyckades jag bevisa det genom kongruens, men är nyfiken hur ni på Pluggakuten resonerar.

(du har ingen information, alltså anta helst inte att T1+T5 är likbent, utan visa det istället…)

Kul problem! Antag figuren föreställer ett parallellogram (dvs. sidorna är parallella).

Visa spoiler

Till att börja med, $T_{1}+T_{5}=T_{4}+T_{3}+T_{2}$ eftersom båda leden är lika med halva arean av figuren, vilket ger $3+T_{5}=T_{3}+T_{4}$ . Å andra sidan är $T_{4}+T_{3}=T_{5}+T_{3}$ då båda leden svarar mot areorna av två trianglar med samma bas och höjd, alltså $T_{4}=T_{5}$ , som i sin tur betyder att $T_{3}=3$ . Trianglarna med area $T_{1}$ och $T_{3}$ är likformiga med likformighetsfaktor $\sqrt{12/3}=2$ vilket betyder att ena basen av triangeln med area $T_{3}$ är hälften av ena sidan av figuren. Alltså måste trianglarna med area $T_{3} + T_{4}$ och $T_{2}$ ha samma bas. Då de dessutom har samma höjd har de samma area, precis att $T_{3}+T_{4}=T_{2}$ . qed

Hur får du 3+T5=T3+T4 i den andra ekvationen?

Cristian0311 skrev:
Hur får du 3+T5=T3+T4 i den andra ekvationen?

Då $T_{1}=12$ och $T_{2}=9$ .

Verkligen klockrent bevis! Du räknar likformighetsfaktorn med roten ur för att konvertera från area till längdskala, visst?

Cristian0311 skrev:
Verkligen klockrent bevis! Du räknar likformighetsfaktorn med roten ur för att konvertera från area till längdskala, visst?

Tackar! Yes, areaförhållandet är längdförhållandet i kvadrat. Hur löste du problemet?

Vet inte riktigt hur korrekt det är, absolut inte lika rent som ditt, men jag använde mig mycket av kongruens.

Jag ritade in en mittlinje i rektangeln för att dela upp den i ab/2 enligt bilden (där a är kortsidan och b långsida). Därefter kunde jag konstatera kongruens på grund av alternatvinklar. Varje rektangel som mittlinjen skapar ska vara ab/2 och om A är kongruent till B, C kongruent till D ger det:

(ab/2)/2=ab/4

Alltså är alla trianglar (som på bilden nedan) lika stora, därmed även sidlängderna.

Jag har haft diskussioner om att detta resonemang förutsätter att T1 + T5 är en likbent triangel vilket man inte borde göra, därför jag lägger upp det på denna tråden. Jag har även ett annat bevis, men det är lite vagare känner jag. Hur tänker du om detta?

Cristian0311 skrev:
Vet inte riktigt hur korrekt det är, absolut inte lika rent som ditt, men jag använde mig mycket av kongruens.

Jag ritade in en mittlinje i rektangeln för att dela upp den i ab/2 enligt bilden (där a är kortsidan och b långsida). Därefter kunde jag konstatera kongruens på grund av alternatvinklar. Varje rektangel som mittlinjen skapar ska vara ab/2 och om A är kongruent till B, C kongruent till D ger det:

(ab/2)/2=ab/4

Alltså är alla trianglar (som på bilden nedan) lika stora, därmed även sidlängderna.

Jag har haft diskussioner om att detta resonemang förutsätter att T1 + T5 är en likbent triangel vilket man inte borde göra, därför jag lägger upp det på denna tråden. Jag har även ett annat bevis, men det är lite vagare känner jag. Hur tänker du om detta?

Det ser bra ut. Men som du själv säger så bygger beviset på att ena triangeln är likbent. I själva verket är de fyra trianglarna kongruenta precis när höjden i triangeln $T_{1}+T_{5}$ är en mittlinje!

Har du lust att visa ditt andra bevis?

Svara

Visa senaste svar