Geometri: Bestäm läget för tredje hörnet till liksidig triangel
Uppgift:
Bestäm läget för en liksidig triangels tredje hörn då två av hörnen ligger i (-1,-1) och (3,1).
Jag tror man ska använda avståndsformeln.
Men ekvationen blir ändå väldigt komplicerad, och lång och jag lyckas inte lösa ut varken a eller b rätt.
Om man använder avståndsformeln blir det väl:
sqrt((3-a)^2 + (1-b)^2) = sqrt(20)
sqrt((-1-a)^2+(-1-b)^2) = sqrt(20)
Men hur löser man ut a eller b?
Jag får bara en jättelång trasslig ekvation som aldrig ger rätt svar...
Tråd flyttad från Matematik/Högskola till Matematik/Matte 3. /Smutstvätt, moderator.
Börja med att kvadrera ekvationerna.
Eftersom uttrycken under roten ur alltid är positiva kan du kvadrera HL och VL utan att införa falska lösningar. Subtrahera sedan ena ekvationen från andra. Förenkling bli lite enklare om du använder konjugatregeln på differens av kvadrater, men du kan även utveckla kvadraterna och förenkla om du känner dig mer bekväm med det. Du får då ekvationen för en rät linje. Ta fram linjen på parameterform. Den här linjen kan du även konstruera direkt från problemformuleringen. Det är linjen genom mittpunkten på linjesegmentet mellan de givna punkterna och vinkelrät mot det linjesegmentet.
Du kan nu sätta in linjen i parameterform i en av de kvadrerade ekvationerna (spelar ingen roll vilken). Du får då en andragradsekvation i en variabel (linjens parametervariabel) att lösa. Sätt in lösningarna i linjens parameterform så får du de möjliga lösningarna till den sökta punkten.
Alternativt kan du ta fram enhetsnormal till linjesegmentet och använda geometri för att räkna ut höjden i triangeln. Vinkeln är 60 grader så sidlängd multiplicerat men sinus för 60 grader ger höjden. Multiplicera enhetsnormalen med höjden och addera till mittpunkten så får du den sökta punkten. Notera att du kan även gå åt andra hållet, dvs ta -normalen så får du den andra lösningen.
