Geometri

Tre cirklar med radie r tangerar varandra, där punkterna A, B och C är mittpunkter för respektive cirkel. En mindre cirkel med medelpunkten M och radie a bildas så att den tangerar de tre större cirklarna. Bestäm det exakta förhållandet mellan radien r och radien a.

Jag tänkte i form av en triangel på detta vis:

Då basen är 2r lång

höjden kan man få reda på genom pythagora sats:

$h^{2} = 4 r^{2} - r^{2} h = \sqrt{3} r$

Jag tänkte dela upp cirklarna i flera liksidiga trianglar som både inkluderar a och r för att få ett resultat men jag vet inte vilka

Ett förslag är att du ritar in höjderna och att du sedan använder trigonometri.
Du vet att vinklarna i en likbent triangel är ... grader.
När du ritar in höjderna så framkommer t.ex. en triangel med ett hörn i A, ett hörn mittemellan A och C samt ett hörn i mittpunkten på den lilla inre cirkeln
Då kan du använda cosinus för en rätvinklig triangel och få fram storleken på linjen från den stora triangelns ena hörn till mittpunkten på den lilla inre cirkeln.

${(r + a)}^{2} - r^{2} = {(r \cdot \tan 30)}^{2}$

Hej! Hur ska man lösa vidare den om man inte arbetat med tan än? Finns det andra metoder?

Svara

Visa senaste svar