geometri

Frågan verkar falsk till och börja med, har fått fram massa motsägelser från det givna uttrycket, kanske bara är jag som är lite trött.

Nu har jag funderat på den här frågan i flera dagar, men kommer inte i mål.

Så här tänker jag:
Först provar vi om ekvationen gäller. Vi ritar några figurer.
Först en med x = 40 grader.

Vinkeln 3x fick jag fram med yttervinkelsatsen och vinkel C med regeln summan av vinklarna i en triangel är 180 grader. Övriga anteckningar är givna i uppgiften.
En sak man ser är att triangeln AB, C, D är likbent och att vi därför vet att sidan d = a+b.
Min uträkning på sidan är en test av ekvationen vi ska bevisa, med mått tagna i figuren.

Här har jag ritat med förutsättningen x = 30 grader.
Vi fick en liksidig triangel och sidorna c och d blir lika stora.

Här har jag ritat med förutsättningen x = 20 grader.
Nu blev sida d kortare än sida c, men fortfarande ser den givna ekvationen ut att stämma.

Målet är givetvis att klara det med matte2-kunskaper, men jag har kollat med sinussatsen som ingår först i matte3 att det stämmer och det stämmer väldigt bra.

Vid x 45 grader blir det ingen rimlig figur. Se nedan.

I den här bilden nedan har jag försökt att med hjälp av bisektrissatsen få fram något bra bevis av den givna ekvationen.
Vi ser att bisektrissatsen ger att  a / b = c / d  och att a = bc / d

Vi ser också att vi har två likformiga trianglar. En med sidorna a c och e och en med sidorna b f och d
Där trodde jag att det skulle gå att få nytta av det, men så här långt har jag bara lyckats bekräfta bisektrissatsen.

Så mitt bästa hitintills är  $a=\frac{b·c}{d}$ och d = a + b  vilket ger  $a=\frac{b·c}{a+b}$
Vilket ska jämföras med den givna ekvationen  $a=\frac{c·d}{c+d}$

Kan man använda det för att komma fram till beviset?

Några saker jag konstaterat är att om vi sätter c = 1 och om vi låter x xariera från 0 till 45 grader så får vi följande:
0,33 < a < 1
0,5 < d < oändligheten
0,167 < b < oändligheten

Vi nära noll grader så är a + b$\approx$0,5 och d$\approx$0,5 liggande straxt under c som jag givit enheten 1 l.e.

Tar tacksamt emot alla förslag som kan bevisa att  $a=\frac{c·d}{c+d}$

En sak till som jag grunnat på är att från bisektrissatsen kan vi se att  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$om vi då sätter $c=1$

så får vi att  $a=\frac{b}{d}$

Om vi tittar på ekvationen som ska bevisas  $a=\frac{c·d}{c+d}$och vi sätter $c=1$

då får vi  $a=\frac{d}{1+d}$  

Bägge verkar stämma, men jag vet inte om jag kan utnyttja det?