Geometri

Längsta möjliga sträcka är ju efter halvcirkeln. Hur lång är den?
(Låter lite för enkelt. Kan du visa hela uppgiften?)

Hur lägger man in en bild?

Förmodar att rodden sker längs triangelsidorna AD och DC. Om AC är diametern är det mycket riktigt en rätvinklig triangel, och då kan du uttrycka den ena kateten i den andra och ta fram maximum av sträckan.

Om han ror efter halvcirkeln går spåret via D så det måste vara den längsta vägen. Annars är frågan felformulerad.

PeterÅ skrev :

Om han ror efter halvcirkeln går spåret via D så det måste vara den längsta vägen. Annars är frågan felformulerad.

Ja det kan jag förstå. Men vet inte exakt hur ska gå till väga när bara vet sträckan AC. Och att den är en rätvinklig triangel.

Du har en rätvinklig triangel. Du vet att hypotenusan är 100 m. Säg att den ena kateten är x. Hur lång är den andra kateten?

Nej, PeterÅ, roddturen går längs två räta linjer. Kalla vinkeln ACD för x. Då är AD=1/sin x. Även AD kan uttryckas lika enkelt. Maximera uttrycket för AD+DC på vanligt sätt med derivering.

Var någonstans står det att rodden ska gå via räta linjer?

PeterÅ skrev :

Var någonstans står det att rodden ska gå via räta linjer?

Det måste anses vara underförstått.

Annars är ju vägen valfri och svaret blir då att det inte finns någon längsta väg. Eller att den går längs halvcirkelns rand son du föreslog och då är svaret trivialt.

smaragdalena skrev :

Du har en rätvinklig triangel. Du vet att hypotenusan är 100 m. Säg att den ena kateten är x. Hur lång är den andra kateten?

För jag vet inte den andra katetern heller är. Om säger att den är z så får jag 

$\mathrm{z}=\sqrt{{100}^2-{\mathrm{x}}^2}$

Henrik Eriksson skrev :

Nej, PeterÅ, roddturen går längs två räta linjer. Kalla vinkeln ACD för x. Då är AD=1/sin x. Även AD kan uttryckas lika enkelt. Maximera uttrycket för AD+DC på vanligt sätt med derivering.

Har inte lärt mig derivering en, Läser Ma2c.

Då vet du att vägen längs de båda kateterna är $S = x+ \sqrt{{100}^2-x^2}$.

Och den lösningen som verkade så bra i mitt huvud funkar inte när jag försöker med papper och penna.

Naturligtvis kan WolframAlpha lösa problemet!

Möjligen kan man motivera svaret med symmetriskäl, men det känns inte tillfredställande.

barcode skrev :

smaragdalena skrev :

Du har en rätvinklig triangel. Du vet att hypotenusan är 100 m. Säg att den ena kateten är x. Hur lång är den andra kateten?

För jag vet inte den andra katetern heller är. Om säger att den är z så får jag 

$\mathrm{z}=\sqrt{{100}^2-{\mathrm{x}}^2}$

Bra. Då är roddturens längd alltså $x+z=x+\sqrt{{100}^2-x^2}$, där $0<x<100$ (varför?).

Vi kan kalla den längden för S(x), eftersom längden beror på katetens längd x.

Nu kan du lösa uppgiften på flera olika sätt:

• Ett sätt är att derivera S(x) och sätta derivatan lika med noll för att hitta det värde på x som ger den längsta roddturen. Men du har inte lärt dig derivator ännu, så den lämnar vi.
• Ett annat sätt är arr rita en graf över S(x), där x går från 0 till 100, och hitta den punkt där S(x) är störst.
• Ett tredje sätt är att resonera sig fram till lösningen: Om x är väldigt liten (nästan 0), så blir S(x) nästan lika med 100. Det ser vi dels på formeln för S(x), men även på figuren över sjön. Om D ligger väldigt nära A så blir sträckan AD nästan 0 meter och sträckan DC blir nästan 100 meter. Dvs S(x) = AD + DC är nästan lika med 100. Om man nu låter D glida längs med halvcirkeln så blir AD + DC större och större ända fram till en punkt där den minskar igen och återigen närmar sig 100 meter då D närmar sig C. Var ligger denna vändpunkt där AD + DC är som störst?

Yngve skrev :

barcode skrev :

Visa föregående citat

smaragdalena skrev :

Du har en rätvinklig triangel. Du vet att hypotenusan är 100 m. Säg att den ena kateten är x. Hur lång är den andra kateten?

För jag vet inte den andra katetern heller är. Om säger att den är z så får jag 

$\mathrm{z}=\sqrt{{100}^2-{\mathrm{x}}^2}$

Bra. Då är roddturens längd alltså $x+z=x+\sqrt{{100}^2-x^2}$, där $0<x<100$ (varför?).

Vi kan kalla den längden för S(x), eftersom längden beror på katetens längd x.

 

Nu kan du lösa uppgiften på flera olika sätt:

• Ett sätt är att derivera S(x) och sätta derivatan lika med noll för att hitta det värde på x som ger den längsta roddturen. Men du har inte lärt dig derivator ännu, så den lämnar vi.
• Ett annat sätt är arr rita en graf över S(x), där x går från 0 till 100, och hitta den punkt där S(x) är störst.
• Ett tredje sätt är att resonera sig fram till lösningen: Om x är väldigt liten (nästan 0), så blir S(x) nästan lika med 100. Det ser vi dels på formeln för S(x), men även på figuren över sjön. Om D ligger väldigt nära A så blir sträckan AD nästan 0 meter och sträckan DC blir nästan 100 meter. Dvs S(x) = AD + DC är nästan lika med 100. Om man nu låter D glida längs med halvcirkeln så blir AD + DC större och större ända fram till en punkt där den minskar igen och återigen närmar sig 100 meter då D närmar sig C. Var ligger denna vändpunkt där AD + DC är som störst?

Tack för svaret nu förstår jag. x måste vara större en 0 för att: En sträcka kan inte vara negativ eller noll. Sen måste vara mindre en 100 för att uppfylla kravet att det är en rätvinklig triangel.

Tror du har tid och kolla på den här? https://www.pluggakuten.se/trad/felmarginal-1/

barcode skrev 

Tack för svaret nu förstår jag. x måste vara större en 0 för att: En sträcka kan inte vara negativ eller noll. Sen måste vara mindre en 100 för att uppfylla kravet att det är en rätvinklig triangel.

Ja nästan.

Större än 0 för att det är en sträcka men mindre än 100 för att D ligger på halvcirkelns periferi.