Geometri
Låt säga att jag står i ett torn som är 10 m högt. Jag ser, på det avståndet, flaggan på en båt. Min kompis som står på marken ser inte flaggan. Om flaggan är 15 m.ö.h., på vilket avstånd kan då jag, respektive min kompis se flaggan? Båten som flaggan tillhör är fortfarande bortom horisonten.
Med risk för att jag inte tänkt igenom detta ordentligt...
För "dig" (som står i tornet) vill jag dela upp sträckan från dina ögon till flaggans topp i två delar; dels från dina ögon, i rät linje till en punkt exakt vid horisonten (som alltså ligger närmare dig än vad flaggan gör). Då kan du rita en rätvinklig triangel med ena hörnet (A) vid dina ögon, andra hörnet (B) i punkten där synlinjen träffar horisonten och sista hörnet (C) i jordens centrum. Vinkeln ABC, dvs. vid horisonten, bör vara rät, och då du vet sträckan AC = jordens radie (R) + höjden för dina ögon över markytan (h) samt sträckan BC = R. Sträckan AB kan du då få via Pythagoras sats.
På motsvarande sätt bör det bli "åt andra hållet", där vi byter ut dina ögon mot flaggans topp. Synlinjen från horisonten till flaggans topp är bara en förlängning av synlinjen från dina ögon till horisonten. Beräkna då sträckan från flaggan till horisonten på samma sätt som du räknade fram AB. Totala sträckan, som här avser längden av synlinjen, inte vägen längs jordytan(!), blir väl summan av de två delarna.
För din kompis blir väl enda skillnaden att hans ögonhöjd (h) är 10 m lägre än din. Gissar att ni båda är lika långa, kanske 1.8 m eller vad du nu vill räkna med.
Vore intressant att se om detta sätt att tänka kan fungera. Har inte räknat själv, så ge gärna lite återkoppling.
dobedidoo skrev :Med risk för att jag inte tänkt igenom detta ordentligt...
För "dig" (som står i tornet) vill jag dela upp sträckan från dina ögon till flaggans topp i två delar; dels från dina ögon, i rät linje till en punkt exakt vid horisonten (som alltså ligger närmare dig än vad flaggan gör). Då kan du rita en rätvinklig triangel med ena hörnet (A) vid dina ögon, andra hörnet (B) i punkten där synlinjen träffar horisonten och sista hörnet (C) i jordens centrum. Vinkeln ABC, dvs. vid horisonten, bör vara rät, och då du vet sträckan AC = jordens radie (R) + höjden för dina ögon över markytan (h) samt sträckan BC = R. Sträckan AB kan du då få via Pythagoras sats.
På motsvarande sätt bör det bli "åt andra hållet", där vi byter ut dina ögon mot flaggans topp. Synlinjen från horisonten till flaggans topp är bara en förlängning av synlinjen från dina ögon till horisonten. Beräkna då sträckan från flaggan till horisonten på samma sätt som du räknade fram AB. Totala sträckan, som här avser längden av synlinjen, inte vägen längs jordytan(!), blir väl summan av de två delarna.
För din kompis blir väl enda skillnaden att hans ögonhöjd (h) är 10 m lägre än din. Gissar att ni båda är lika långa, kanske 1.8 m eller vad du nu vill räkna med.
Vore intressant att se om detta sätt att tänka kan fungera. Har inte räknat själv, så ge gärna lite återkoppling.
Tror att det borde fungera. Givet den bild du målar upp tänkte dock jag i termer av vinklar i samma trianglar. Vinkeln vid jordens centrum som hör till första triangeln kallar jag v1 och den som hör till andra triangeln kallar jag v2. Totala vinkeln som jag sedan vill använda för att räkna ut sträckan L längs jordytan med blir då v = v1 + v2.
Om ögonhöjden över ytan är h1, flaggans höjd över ytan är h2, och jordens radie är r, så får jag:
cos v1 = r / (r + h1)
cos v2 = r / (r + h2)
v = cos-1[r / (r + h1)] + cos-1[r / (r + h2)], som alltså är en funktion v(h1) av höjden h1 (resten är konstanter).
Båglängden är vinkeln i radianer gånger radien, så vi får:
L = r * v(h1)
Där kan du sedan stoppa in vilka höjder du vill för att se hur längden förändras.
