Geometri

Sätt in det du vet i formeln. Tänk på att du vet vad volymen ska bli.
Då får du en ekvation, visa hur den blir.

Jag vet att mantelytan är 95 cm2. För att räkna volym på cylinder ska jag V= Bxh 

Basytan: pi x r2 x h 

Men i detta fallet har jag inte höjden och därför måste skriva en ekvation. 

B= 3,14x 3,5x 3,5= 

höjden som tecknas som x i detta fallet. Jag har aldrig skrivit en ekvation för höjden förut så jag vet inte.....

Mantelyta = 2 pi r h = 2 pi 3.5 h = 95

Bestäm h

Du kan sedan beräkna volymen = pi r^2 h

(Bortse från mitt förra inlägg, det var dåligt.)

Mantelytans area är 95 cm2.
Mantelytan är ytan mellan basytorna, alltså ytan som inte är botten eller toppen.
Om du tänker dig att sidan "rullas ut" till en kvadrat, hur blir uttrycket för arean?

A= 2*pi*r *h 

Tänker jag rätt?

? 

$2\pi rh = A$

det är korrekt

formeln för cylinders volym är 

$V =\pi r^2 · h$

vi får h genom att ta mantelytans area delat på cirkelns omkrets

$h = \frac{A}{2\pi r}$

sen sätter vi in h i formeln för cylinderns volym och får en slutgiltig formel

$V =\pi r^2 · \frac{A}{2\pi r}$

det här formeln som fungerar att få fram volymen

men om du vill kan man alltid förenkla den

$$\begin{gathered} V =\pi r^2 · \frac{A}{2\pi r} \\ V = \frac{\pi r^{2}A}{2\pi r} \\ V = \frac{Ar}{2} \end{gathered}$$

$V = \frac{Ar}{2} = \frac{95·3,5}{2} = 166.25 \left[c{m}^3\right]$

svar i m3 $1.6625·{10}^{-4} \left[m^3\right]$

kolla i facit ifall det stämmer överens, annars ignorera helheten av detta meddelande, i fall det var rätt så säg till bara om jag borde förklara bättre vid någon del

 svaret i facit är 170 cm3. Jag fattar fortfarande inte varför du räkna m3 när det står tydligt cm...

oj förlåt, först tror jag att svaren är avrundade så 166 ~ 170, min arbetsprocess används nog inte i åk 8. jag rättar m3 till cm3 och lägger till m3 nedanför

Va? Du gjorde det mer komplicerat när du skrev 1,6625 * 10 upphöjt -4

när jag räkna ut det fick jag 0.00016625 vilket är flera länder långt ifrån mitt svar

ja förlåt, jag la till svaret i m3 för att bara ha det som referens till den enhet jag är mer van i att svara med. svaret är 166 kubikcentimeter men om man konverterar det till kubikmeter blir det till $1.6625·{10}^{-4}$, då $1.6625·{10}^{-4} = 0,00016625$. jag ber om ursäkt att jag la till kubikmeter utan att förklara innan

Men jag har försökt få fram höjden genom att dividera mantelytan 95 cm2 med 7som är diametern. Då fick jag fram kvot 13,57. Vad gör jag sen?

Hasosi skrev:

A= 2*pi*r *h 

Tänker jag rätt?

Ja.
Lös ut h, dvs skriv om formeln så att h står ensamt på ena sidan likamed-tecknet.
Sätt sen in det du vet: Arean A, radien r och pi. Beräkna h.
Sen kan du räkna ut volymen.

När du fått fram svaret så är du klar men titta gärna även på lösningen som jonasJ gjorde i inlägg #7, där ser framgår att man kan förkorta uträkningen genom att använda uttrycket för h direkt i formeln för volymen och förkorta innan man stoppar in "siffror".

Programmeraren skrev:

Hasosi skrev:

A= 2*pi*r *h 

Tänker jag rätt?

Ja.
Lös ut h, dvs skriv om formeln så att h står ensamt på ena sidan likamed-tecknet.
Sätt sen in det du vet: Arean A, radien r och pi. Beräkna h.
Sen kan du räkna ut volymen.

När du fått fram svaret så är du klar men titta gärna även på lösningen som jonasJ gjorde i inlägg #7, där ser framgår att man kan förkorta uträkningen genom att använda uttrycket för h direkt i formeln för volymen och förkorta innan man stoppar in "siffror".

SÅ jag ska göra en ekvation? 

Ja, du kom fram till:
A=2*pi*r*h
och du vet värdet på alla variabler förutom h som du vill räkna ut. Därför vill du se till att h hamnar ensamt på ena sidan likamed-tecknet.

Hur beräknar jag h? 

Jag har gjort såhär hitills:

2*3,14*3,5=h 

21,98=h 

vad gör jag sedan?

nej vänta det där är formeln för omkretsen $2\pi r$

mantelytan består av både omkretsen och höjden

det vill säga att mantelytans formel ser ut såhär $A = h·2\pi r$

A är mantelytans area som redan är angiven, höjden är okänd, radien kan vi redan

om man vill få ut h så ska man bara dela med omkretsen över till vänsterled, det vill säga A i täljaren och omkretsen i nämnaren, och då när du har bara h på ena sidan betyder att vi har löst ut h, vi kan räkna ut h då

$h = \frac{A}{2\pi r}$

h blir enligt min uträkning till 4.32

Nejjjj jag skrev uträckningen du skrev ovanför och det stämde inte.

men det du räknade var omkretsen till cirkeln som vi skulle använda till att få fram höjden

jonasJ skrev:

nej vänta det där är formeln för omkretsen $2\pi r$

mantelytan består av både omkretsen och höjden

det vill säga att mantelytans formel ser ut såhär $A = h·2\pi r$

A är mantelytans area som redan är angiven, höjden är okänd, radien kan vi redan

om man vill få ut h så ska man bara dela med omkretsen över till vänsterled, det vill säga A i täljaren och omkretsen i nämnaren, och då när du har bara h på ena sidan betyder att vi har löst ut h, vi kan räkna ut h då

$h = \frac{A}{2\pi r}$

h blir enligt min uträkning till 4.32

 

Det var exakt det jag kom också på min andra uträkning jag gjorde. Jag delade mantelytan delat på omkretsen 

fick du fram höjden med den uträkningen?, ah ok, ok men då borde du ha fått fram att höjden blev till 4.32

jonasJ skrev:

fick du fram höjden med den uträkningen?, ah ok, ok men då borde du ha fått fram att höjden blev till 4.32

Enligt min uträkning gjorde jag så här:

h= A/2pi r 

h=95/ cirkelns omkrets vilket är 21,98= 22cm 

h=95/22 höjden blir då 4,318 ungefär 4,32cm 

Det stod på ledtråden att man skulle göra en ekvation

det nästa steget är bara att lägga in höjden och radien i volymformeln för en cylinder $V = h · {\mathrm{\pi r}}^2$, vilket blir till 166,25 kubikcentimeter, som var svaret angivet tidigare

men om du vill också göra en ekvation så kan jag hjälpa dig med att förklara den som jag gjorde innan

Ja, gärna

borde jag göra en lång post eller dela upp den i segment så att du kan säga till ifall det blir obegripligt?

Dela upp den i segment så att det blir begripligt tack.

den första formeln som vi måste utgå ifrån är formeln för cylinders volym $V = h · {\mathrm{\pi r}}^2$

och vårt första problem är h, vi kan basen som är $\pi r^2$, men inte h

Men räkna vi inte precis h?

Höjden är ju 4,32 cm

precis, den kan vi i form av ett tal. vi fick den från formeln för mantelytans area

$A = h · 2\mathrm{\pi r}$,

den består av höjden och cirkelns omkrets, h respektive $2\mathrm{\pi r}$

Man kan väl på så sätt räkna ut volymen då genom att göra formeln:

V=B*h 

B= pi* r upphöjt till 2 

B=pi* 3,5 upphöjt till 2 =12,25 cm2

V= 12,25xhöjden= 

12,25cm2  x 4,32 cm = 52,92 cm3 = 53 cm3

höjden är 4,32cm. 

Svar: 53 cm3 vilket är helt fel ..

Hur gör jag? Jag tror att man ska ha med mantelytan också.

B=pi* 3,5 upphöjt till 2 =12,25 cm2

det blev 38,48 för mig

Nej nej jag gjorde helt felll i den första jag gjorde

Jag menade att V=B*h 

B= 3,14x12,25= 38,465

B= 38,46x höjden= 

B= 38,46x 4.32=166,16....= 166cm3 här är igen. Men det finns ett knep man ska omvandla till tiotal kubikcentimeter

ah ok, du är på helt rätt väg, sen är det bara att gångra basen med höjden och då får du 166.25 kubikcentimetrar

jonasJ skrev:

ah ok, du är på helt rätt väg, sen är det bara att gångra basen med höjden och då får du 166.25 kubikcentimetrar

Såg du vad jag skrev ovanför din kommentar?

 ja fast varför behöver du konvertera dem ifall du har redan listat ut svaret på frågan? alltså till tiotals kubikcentrimetrar

Det står så i själva uppgiften jag följer bara uppgiften

jaha du tänker avrunda det till tiotalet 170 för att facit sa så. det går att göra fast jag känner att facit hade en väldigt grov avrundning, men det går lika bra

Men facit har inte alltid rätt eller hur?

jag tycker att 166cm3 låter väldigt rimligt denna cylinders volym eftersom då skulle vi inte ens haft 4,32 som höjd. 

jo facit har nog rätt, skolböcker går nog igenom någon slags revision då flera personer går igenom problemen och kollar ifall de stämmer, men det kanske inte är så viktigt. anledningen till att vi fick fram 166 cm3 var nog för att vi inte gjorde något stor avrundning med talen i själva uträkningen. även om vi nu kan svaret till uppgiften vill du ändå veta om hur man ställer upp ekvationen?

Ja självklart visa 

vi fortsätter från formeln för cylinderns volym $V = h · {\mathrm{\pi r}}^2$

vi behöver h som finns i formeln för mantelytans area $A = h · 2\mathrm{\pi r}$

nästa steg är härledning så jag frågar bara om du hänger med sålänge

Ja jag fattar och hänger med

vi behöver h och det gör vi genom att bryta ut variabeln

$$\begin{gathered} A = h · 2\mathrm{\pi r} \\ \frac{\mathrm{A}}{2\mathrm{\pi r}} = \frac{\mathrm{h} · 2\mathrm{\pi r} }{2\mathrm{\pi r}} \end{gathered}$$

vad som händer nu när vi har $2\mathrm{\pi r}$, dividerat på båda sidorna är att det blir bara h kvar på högerled

$$\begin{gathered} \frac{A}{2\mathrm{\pi r}} = h \\ h = \frac{A}{2\mathrm{\pi r}} \end{gathered}$$

jonasJ skrev:

vi behöver h och det gör vi genom att bryta ut variabeln

$$\begin{gathered} A = h · 2\mathrm{\pi r} \\ \frac{\mathrm{A}}{2\mathrm{\pi r}} = \frac{\mathrm{h} · 2\mathrm{\pi r} }{2\mathrm{\pi r}} \end{gathered}$$

vad som händer nu när vi har $2\mathrm{\pi r}$, dividerat på båda sidorna är att det blir bara h kvar på högerled

$$\begin{gathered} \frac{A}{2\mathrm{\pi r}} = h \\ h = \frac{A}{2\mathrm{\pi r}} \end{gathered}$$

Vad händer efter?

ja nu går vi tillbaka till formeln för cylinderns volym och byter ut h

$$\begin{gathered} V = h · {\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{h} = \frac{\mathrm{A}}{2\mathrm{\pi r}} \end{gathered}$$

$V = \frac{A}{2\mathrm{\pi r}} · {\mathrm{\pi r}}^2$

det här blir vår formel efter att vi bytte ut h

V= 95cm2 /22= 4,3 gör jag sen

vänta vilken formel använder du till det där?

Jag använde h= formel  A/2pi r

är det fel?

det var helt rätt men jag tänkte mera på att göra klart ekvationen för volymen så att det blir bara ett litet bråk som du bara behöver sätta in arean och radien för att få svaret till uppgiften

Ja jag fattar. Kan vi göra ekvationen nu?

$V = \frac{A}{2\mathrm{\pi r}} · {\mathrm{\pi r}}^2$

det här var formeln som vi fick efter vi bytte ut h med ekvationen från innan

det här är regeln som vi ska ha $\frac{a}{b} · c = \frac{ac}{b}$

$V = \frac{A{\mathrm{\pi r}}^2}{2\mathrm{\pi r}}$

Tillägg: 7 feb 2024 21:31

jag kanske borde ha förklarat mer om regeln, a b och c är bara variabler och jag använde dem för att demonstrera att vi kunde trycka upp ${\mathrm{\pi r}}^2$, till bråket tillsammans med A

Jag måste gå nu. Vi löser den imorgon 

jonasJ skrev:

$V = \frac{A}{2\mathrm{\pi r}} · {\mathrm{\pi r}}^2$

det här var formeln som vi fick efter vi bytte ut h med ekvationen från innan

det här är regeln som vi ska ha $\frac{a}{b} · c = \frac{ac}{b}$

$V = \frac{A{\mathrm{\pi r}}^2}{2\mathrm{\pi r}}$

---

Tillägg: 7 feb 2024 21:31

jag kanske borde ha förklarat mer om regeln, a b och c är bara variabler och jag använde dem för att demonstrera att vi kunde trycka upp ${\mathrm{\pi r}}^2$, till bråket tillsammans med A

Kan du förtyddla den? Vart ifrån kommer abc och vad är de? Förklara tydligare.

ja regeln har ingenting med våran egentliga ekvation, men det är en princip att vi kan bara skriva om så att a och c är tillsammans i täljaren än att bara vara bredvid, våran variabel ${\mathrm{\pi r}}^2$ var bredvid bråket som innehöll a uppe i täljaren, så då tryckte vi upp den tillsammans med A 

Tillägg: 7 feb 2024 21:38

$\frac{A}{2\mathrm{\pi r}} · {\mathrm{\pi r}}^2 = \frac{{\mathrm{A\pi r}}^2}{2\mathrm{\pi r}}$

vi kan bara göra såhär när en variabel gångras med ett bråk

vi kan inte göra såhär ifall det är subtraktion eller addition

$\frac{A}{2\mathrm{\pi r}} + \pi r^2 \ne \frac{A + \pi r^2}{2\mathrm{\pi r}}$

ifall det skulle vara subtraktion eller addition skulle det se ut såhär

$\frac{A}{2\mathrm{\pi r}} + \pi r^2 = \frac{A + \left(2\mathrm{\pi r}\right)\pi r^2}{2\mathrm{\pi r}}$

fast nu har vi multiplikation, då kan man alltid lägga ihop de variabler som gångras med varandra tillsammans i samma bråk$\frac{a}{b} · c = \frac{ac}{b}$

a, b och c kan vara vilka tal i hela världen och så kommer den regeln att gälla, och eftersom vi hade multiplikation så kunde vi föra upp variabeln som vi hade

aja, det spårade ut en del där, algebra är i grunden inte komplex när man har hållit på med det länge fast jag kan förstå att det blir väldigt mycket.

men ifall vi bara utgår från att

 $\frac{A}{2\mathrm{\pi r}} · {\mathrm{\pi r}}^2 = \frac{{\mathrm{A\pi r}}^2}{2\mathrm{\pi r}}$

så kommer vi bli klara med ekvationen efter att vi bara en ändring

Tillägg: 7 feb 2024 22:05

jag ser att du redan stack men jag skriver klart det sista så att du kan kolla igenom allt imorgon

$V = \frac{A{\mathrm{\pi r}}^2}{2\mathrm{\pi r}}$

kolla på bråket noga, det finns inga minus eller plustecken, både täljaren och nämnaren är bara variabler ihopgångrade

när en variabel delas med sig själv blir det till noll,

 $\frac{x}{x} = 1$, x är bara en variabel, precis som a b och c från innan.

$\frac{A{\mathrm{\pi r}}^2}{2\mathrm{\pi r}}$, du ser pi i både i täljaren och nämnaren, de blir till 1 enligt regeln x/x = 1

$\frac{A\cancel{\mathrm{\pi }}{r}^2}{2\cancel{\mathrm{\pi }}r}$

vi tar bort pi för att alla variabler gånger 1 blir till sig själv, $1 · x = x$

$\frac{A{r}^2}{2r}$

vi kan skriva om formeln för att få bort radien i nämnaren

$\frac{A·r·r}{2r}$

$\frac{A·\cancel{r}·r}{2\cancel{r}}$

notera att bara en av radierna försvinner, det är för att man kan bara ta bort en variabel per variabel t.ex $\frac{x^2}{x} = x \Rightarrow \frac{\cancel{x} · x}{\cancel{x}} = x \Rightarrow \frac{ x}{1} = x \Rightarrow x = x$

$V = \frac{Ar}{2} = \frac{95 · 3,5}{2} = 166,25 \left[c{m}^3\right]$

det här är vår slutgiltiga formel, du kan använda den för att få fram volymen på vilken cylinder som helst som du vet mantelarean och radien på.

förlåt att jag gick igenom allt väldigt snabbt innan, säg till ifall jag ska fördjupa variablerna imorgon

Står "A" i denna formel som visade för basytans area?