GEOGEBRA Logistiska tillväxtekvationen: På en isolerad ö ska konstanter bestämmas

Jag vet inte hur jag ska göra mer än att man kan lösa differentialekvationen med Geogebra (som inte gick alls bra), jag fick bara frågetecken, hur ska man lösa den här med så många okända konstanter?

y(0)=65 y(1)=98 y(2)=142

Visa spoiler

Vi har alltså ekvationen:
$\frac{d y}{d t} = k \cdot y \cdot (M - y)$

Vi kan nu flytta alla $y$ till vänstra sidan och alla $t$ till högra sidan:
$\frac{d y}{y (M - y)} = k \cdot d t$

Bråket på vänstra sidan har två faktorer i nämnaren och kan därför delas upp i två bråk:
$(\frac{A}{y} + \frac{B}{M - y}) \cdot d y = k \cdot d t$

där $A = B = \frac{1}{M}$

Vi kan nu multiplicera båda sidor med $M$ och integrera vilket ger:
$\ln (y) - \ln (M - y) = k \cdot M \cdot t - \ln (C) \Rightarrow \frac{C \cdot y}{M - y} = e^{k M t}$

Eftersom vi vet att $y (0) = 65$ kan vi lösa ut $C$ :
$\frac{C \cdot 65}{M - 65} = 1 \Rightarrow C = \frac{M - 65}{65}$

Sätter vi in detta får vi att:
$\frac{y \cdot (M - 65)}{65 \cdot (M - y)} = e^{k M t}$

Löser man ut $y$ ur detta får man ekvationen i spoilern.
Det skall dock strax visa sig att det är bättre att bevara ekvationen på den här formen inför fortsättningen.

Då vi vet att $y (1) = 98$ och $y (2) = 142$ får vi följande två ekvationer:
$\frac{98 \cdot (M - 65)}{65 \cdot (M - 98)} = e^{k M} \frac{142 \cdot (M - 65)}{65 \cdot (M - 142)} = e^{2 k M}$

Den andra ekvationens högersida är kvadraten av den första ekvationens högersida
vilken ger oss ett uttryck för $M$ som vi kan lösa:
$0 < {(\frac{98 \cdot (M - 65)}{65 \cdot (M - 98)})}^{2} = \frac{142 \cdot (M - 65)}{65 \cdot (M - 142)} \Rightarrow 98^{2} \cdot {(M - 65)}^{2} \cdot 65 \cdot (M - 142) = 142 \cdot (M - 65) \cdot 65^{2} \cdot {(M - 98)}^{2} \Rightarrow (98^{2} - 142 \cdot 65) \cdot M^{2} - (98^{2} \cdot (65 + 142) - 142 \cdot 65 \cdot (2 \cdot 98)) \cdot M = 0 \Rightarrow M \cdot (374 \cdot M - 178948) = 0 \Rightarrow M = 0, M = \frac{178948}{374} = \frac{8134}{17}$

$M = 0$ skulle göra det omöjligt att lösa ut $y$ , så det rätta svaret måste vara $M = \frac{8134}{17} \approx 478, 5$
Slutligen kan vi lösa ut $k$ enligt följande:
$e^{k M} = \frac{98 \cdot (M - 65)}{65 \cdot (M - 98)} = \frac{213}{130} k = \frac{17}{8134} \cdot \ln (\frac{213}{130}) \approx 0.001032$

Vill man ha en exakt lösning för $y$ kan man räkna ut att:
$y = M \cdot \frac{1}{1 + (\frac{M - 65}{65}) \cdot e^{- k M t}} = (\frac{8134}{17}) \cdot \frac{1}{1 + (\frac{7029}{1105}) \cdot {(\frac{130}{213})}^{t}}$

Svara