Genererande funktioner med binomialutvecklingar

Hej! 

Har fastnat på vid genererande funktioner där binomialutvecklingar uppstår. Som ett exempel på var svårigheten ligger kommer ett exempel som jag är osäker på hur man ska lösa:

Hitta koefficienten för $x^{20}$ i $(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6{)}^5$.

Mitt försök ser ut så här:

$f\left(x\right) = x^{10}(1+x+x^2+x^3+x^4{)}^5 = x^{10}(\underset{k=0}{\overset{5}{\sum x^k}}{)}^5$ , där  $\underset{k}{\overset{n}{\sum x^k}} =\hspace{0.17em}\frac{1-x^{k+1}}{1-x}$

Detta ger

 $x^{10}(\frac{1-x^6}{1-x}{)}^5\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{x}^{10}(1-x^6{)}^5\times \frac{1}{(1-x{)}^5}$, där $\frac{1}{(1-x{)}^n} = \underset{k = 0}{\overset{\infty }{\sum \left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right) x^k}}$

Forsättningsvis:

$f\left(x\right) = x^{10 }(1-x^6{)}^5 \times \sum _{k=0}^{\infty } \left(\begin{array}{c}5 +k-1\\ k\end{array}\right) x^k =$ 

$= x^{10} \times (1-5x^6+...)\times \sum _{k=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}5+k-1\\ k\end{array}\right) x^k$

I det här steget antar jag att man bara tar hänsyn till alla exponenter av binomialutvecklingen som inte ger en exponent >20, dvs jag tar bara hänsyn till de två element som är utskrivna i ekvationen ovan.

Detta ger mig svaret:

$Coeff\left(f\right(x),x^{20}) = \left(\begin{array}{c}5 + 10 -1\\ 10\end{array}\right) -5\left(\begin{array}{c}5+4-1\\ 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}14\\ 10\end{array}\right)- 5\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ då jag får k = 10 från första termen i binomialutvecklingen och k = 4 för den andra.

Uppenbarligen är detta fel, vilket inte är förvånande då jag är osäker på hur jag ska hantera termerna i binomialutvecklingen. Någon som kan hjälpa mig? 

Tack i förhand!