Generella polynom och dess gradtal

Låt $p(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m$

Låt $q(x)=b_0+b_1x+...+b_nx^n$

Att $p(x)$ har gradtal $m$ innebär att $a_m\neq0$, övriga koefficienter vet du inget om.

Att $q(x)$ har gradtal $n$ innebär att $b_n\neq0$, övriga koefficienter vet du inget om.

Det betyder att det enda du säkert vet om $p(x)+q(x)$ är att summan innehåller de två termerna $a_mx^m+b_nx^n$

På samma sätt, det enda du vet om $p(x)-q(x)$ är att differensen innehåller de två termerna $a_mx^m-b_nx^n$

På samma sätt, det enda du vet om $p(x)\cdot q(x)$ är att produkten innehåller de två faktorerna $a_mx^m\cdot b_nx^n$

Undersök nu de båda fallen a) och b) för dessa resultat.

Kommer du vidare då?

Tack jättesnällt, nu förstår jag utgångspunkten bättre!

Jag förstår dock inte riktigt hur jag ska komma från slutsatserna vi nu dragit till vilka värden gradtalen kan anta då polynomen har olika konstanter

Ta fallet m > n först, det är enklast.

Spelar det då någon roll vad $a_m$ och $b_n$ har för värden?

Vi tittar på $p(x)\cdot q(x)$: Ta till exempel m = 4, n = 2. Om nu $a_m\neq b_n$, till exempel $a_m=3$, $b_n=5$ så vet du att $p(x)\cdot q(x)$ åtminstone innehåller termen $3\cdot x^4\cdot 5\cdot x^2=15\cdot x^6$, eller hur?

Vad skulle hända om $a_m=b_n$ eller om $a_m=-b_n$?

Kan du dra någon generell slutsats från det?

Ta sedan på liknande sätt något exempel för $p(x)+q(x)$ respektive $p(x)-q(x)$ och försök generalisera till en slutsats.

----------------

Gör sedan samma sak för fallet m = n.