generell lösning

Hej

jag har behöver hjälp med att få fram den generella lösningen

Lös $y'' + 2 y' + y = e^{- x}$

jag har hittat nollstället $r_{1} = r_{2} = - 1$

När jag ska räkna ut den generella lösningen så ska man sätta $y = z e^{- x}$ och få fram

$\{\begin{cases} y' = (z' - z) e^{- x} \\ y'' = (z'' - 2 z' + z) e^{- x} \end{cases}$

och insättningen i ekvation ett ger z``=1

men jag förstår inte hur man får fram z``=1

Hej!

Eftersom du har en dubbelrot $r = -1$ så kan ekvationens homogena lösningar skrivas

$y(x) = (Ax+B)e^{-x}.$

För att bestämma A och B behöver du veta exempelvis $y(0)$ och derivatan $y'(0)\ .$

För att finna samtliga lösningar till ekvationen kan du införa funktionen $z(x) = y'(x) + y(x),$ så att differentialekvationen kan skrivas

$z'(x) + z(x) = e^{-x}.$

Med hjälp av den integrerande faktorn $e^{x}$ blir lösningen till denna ekvation

$z(x) = Ce^{-x} + xe^{-x}$ där $C$ är en konstant.

Med hjälp av den integrerande faktorn $e^{x}$ (igen) blir lösningarna till ekvationen

$y'(x) + y(x) = Ce^{-x}+xe^{-x}$

lika med

$y(x) = De^{-x} + Cxe^{-x} + 0.5x^2e^{-x}$ där $D$ är en konstant.

Albiki

Svara