Generalisering av funktionsmedelvärde i ett visst intervall till alla reella tal

Utgår inte själva definitionen från att funktionen ska vara Riemann-integrerbar? Det är ju inte $e^{-t^2}$.

Funktioner som växer snabbt mot noll, och därför har en ändlig integral, som exempelvis $e^{-t^2}$ kommer få medelvärde noll enligt din definition.

Exempelvis:

$\lim_{x\to\infty}\int e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}\Rightarrow$

$M=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\pi }}{2x}=0$

Det du får fram är att medelvärdet av positiva tal mellan 0 och 1 i fallet exp(-t^2) hamnar godtyckligt nära 0 när du låter x bli godtyckligt stor. 

Säg ett positivt tal, vilket som helst, så kan vi hitta ett x-värde så att medelvärdet av din funktion exp(-t^2) är mindre än det talet. 

Om en positiv funktion $f(x) > 0$ överhuvudtaget konvergerar mot 0 dvs $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$ så kommer funktionsmedelvärdet i gränsen att vara 0.

(Jag tolkar det som att Dr. G har påstått något liknande)

Epsilon delta bevis för att jag är fantasilös och låt oss modifiera utsagan till funktioner på positiva delen av tallinjen 

$M = \lim_{N \to \infty }\frac{1}{N}\int_0^N f(x)dx$ då det annars blir plottrigt att hålla reda på båda sidor.

Bevis: Låt $\epsilon > 0$ vara godtyckligt tal och låt mig visa att funktionens medelvärde garanterat måste vara mindre än detta tal.

Om $f(x) \to 0$ så måste det finnas ett tal $x_0 > 0$ sådant att $\epsilon > f(x)$* för alla $x > x_0$ då funktionens graf tillslut passerar under linjen $y = \epsilon$. Om $N > x_0$ kan integralen splittras i två delar

$\int_0^N f(x) dx = \int_0^{x_0} f(x) dx + \int_{x_0}^N f(x) dx$

Den vänstra termen är en ändlig integral med något ändligt värde $I$ och den andra integralen måste vara mindre än $\epsilon(N - x_0)$ då $\epsilon > f(x)$ på detta intervall.

$\frac{1}{N} \int_0^N f(x) dx \leq \frac{I + \epsilon(N - x_0)}{N}$

Om vi tar gränsvärdet får vi

$$M  \leq \lim_{N \to \infty} \frac{I + \epsilon(N - x_0)}{N} = \epsilon$$

$M \leq \epsilon$

Eftersom $\epsilon$ var godtyckligt så kan det väljas godtyckligt litet utan att påverka argumentet vilket betyder att M måste vara 0.

Suck. Olikheter verkar krascha latexen... tolkas olikheter som htmltaggar på någon nivå i det här? Det skulle ju inte vara bra... Vänstertaggar verkar leda till kedjefel men inte högertaggar. Sure why not...

(Detta argument kan anpassas till att producera ett liknande resultat för alla funktioner som effektivt är konstanta för stora x eller rättare sagt funktioner som har ett gränsvärde $\lim_{x \to \infty}f(x) = c$)

Tack för svar! Ja, ni har ju rätt, alla funktioner där svaret på integralen $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\ dt$ blir ändligt kommer ju att resultera i "medelvärdet" noll.

Jag tror jag har förstått min tankevurpa - jag tänkte mig att ett ändligt intervall med större värden än resten av funktionen skulle kunna påverka medelvärdet lite grann, men eftersom vi har ett oändligt stort intervall spelar ett ändligt intervall med större värden ingen roll. För att påverka medelvärdet krävs det att funktionen har ett visst värde (eller snarare går mot ett visst värde) på ett oändligt stort intervall (d.v.s. någon av gränsvärdena mot plus eller minus oändligheten).

Det är alltså egentligen bara gränsvärdena när $t\rightarrow\pm\infty$ som har möjlighet att påverka medelvärdet. Alla andra värden på ändliga intervall har ingen betydelse eftersom de försvinner när man delar på ett oändligt stort intervall. Ett exempel på detta är

$f(t)$ $=\dfrac{t^2-4}{t^2+1}$

vilket ger medelvärdet $M=1$ eftersom

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow\pm\infty}\frac{t^2-4}{t^2+1}=1$

Det gör ingen skillnad att funktionen till och med har negativa värden kring $t=0$, allt som spelar roll är gränsvärdena.

AlvinB skrev:

 

För en funktion $f(t)$ kom jag fram till följande gränsvärde:

$\displaystyle M=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\int_{-x}^x f(t)\ dt}{2x}$

 

Så får inte gränser för en integral skrivas. Definitionen säger att

$\int_c^\infty f(x) dx = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_c^a f(x) dx$

och 

$\int_{-\infty}^c f(x) dx = \lim_{b \rightarrow -\infty} \int_{b}^c f(x) dx$

så då följer att 

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \lim_{a \rightarrow \infty} \lim_{b \rightarrow -\infty} \int_{b}^a f(x) dx$

och dessa integraler blir inte noll om $f(x)$ är en udda funktion. Det kanske inte känns intuitivt men det följer ur definitionen.

Edit: jag har ingen aning om varför parenteserna kring f(x) blir enorma...

Jag är inte benägen att hålla med. Jag håller med dig om att integralen

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}$ $f(t)\ dt$ där $f(t)$ är udda

inte är konvergent, men det jag pratar om är:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$

vilket är konvergent:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$ $=\lim_{x\rightarrow\infty} 0=0$

AlvinB skrev:

Jag är inte benägen att hålla med. Jag håller med dig om att integralen

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}$ $f(t)\ dt$ där $f(t)$ är udda

inte är konvergent, men det jag pratar om är:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$

vilket är konvergent:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$ $=\lim_{x\rightarrow\infty} 0=0$

 Jo om du konstruerar den så ja, men då tycker jag inte det är en utvidgning av medelvärdessatsen. För att det ska bli det så tycker jag du bör ta a och b som individuella gränsvärden.

emmynoether skrev:

AlvinB skrev:

Jag är inte benägen att hålla med. Jag håller med dig om att integralen

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}$ $f(t)\ dt$ där $f(t)$ är udda

inte är konvergent, men det jag pratar om är:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$

vilket är konvergent:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$ $=\lim_{x\rightarrow\infty} 0=0$

 Jo om du konstruerar den så ja, men då tycker jag inte det är en utvidgning av medelvärdessatsen. För att det ska bli det så tycker jag du bör ta a och b som individuella gränsvärden.

 Ja, fast vad blir integralen av en udda funktion då? Att säga att gränsvärdet inte konvergerar är ju knappast ett bättre medelvärde än vad noll är.

Detta var mer av ett tankeexperiment. Det var inte min mening att det skulle vara särskilt rigoröst. :-)

AlvinB skrev:

emmynoether skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Jag är inte benägen att hålla med. Jag håller med dig om att integralen

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}$ $f(t)\ dt$ där $f(t)$ är udda

inte är konvergent, men det jag pratar om är:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$

vilket är konvergent:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} \int_{-x}^x$ $f(t)\ dt$ $=\lim_{x\rightarrow\infty} 0=0$

 Jo om du konstruerar den så ja, men då tycker jag inte det är en utvidgning av medelvärdessatsen. För att det ska bli det så tycker jag du bör ta a och b som individuella gränsvärden.

 Ja, fast vad blir integralen av en udda funktion då? Att säga att gränsvärdet inte konvergerar är ju knappast ett bättre medelvärde än vad noll är.

Detta var mer av ett tankeexperiment. Det var inte min mening att det skulle vara särskilt rigoröst. :-)

 Haha nej det var inte meningen att sätta käppar i hjulet för dig :) Jag tänkte bara påpeka att man får vara lite försiktig om man vill argumentera matematiskt rigoröst så att man inte drar lite förhastade slutsatser, det kan ju såklart vara kul att bara föreställa sig saker.

AlvinB skrev:

God kväll!

Med hjälp av integraler kan man beräkna medelvärdet av en viss funktion $f$ över ett intervall $[a,b]$:

$\displaystyle M=\frac{1}{b-a}\int_a^b$ $f(x)\ dx$

Nyfiken som jag är undrade jag vad som händer om man vill undersöka medelvärdet över alla reella tal, d.v.s. $[-\infty,\infty]$.

 

[...]

 Hej!

Om funktionen $f : \mathbf{R}\to\mathbf{R}$ är kontinuerlig så är funktionen $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$ deriverbar och Lagranges medelvärdessats ger att det finns ett tal  $c$ någonstans mellan $a$ och $b$ sådan att

    $\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt = F'(c) = f(c),$

där jag använt Integralkalkylens huvudsats för att kunna hävda att $F'(c) = f(c)$.

Låt $a \to -\infty$ och $b \to \infty$ för att dra slutsatsen att det finns ett reellt tal $c$ sådant att

    $\displaystyle\lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt=f(c).$

Notera att detta förutsätter att funktionen $f$ är kontinuerlig över hela $\mathbb{R}$.

Jag kan ha fel, men är ganska säker på att medelvärdessatsen bara gäller på ett stängd intervall [a,b] där f(t) måste vara deriverbar på det öppna intervallet (a,b). Då fungerar inte det resonemanget.

emmynoether skrev:

Jag kan ha fel, men är ganska säker på att medelvärdessatsen bara gäller på ett stängd intervall [a,b] där f(t) måste vara deriverbar på det öppna intervallet (a,b). Då fungerar inte det resonemanget.

 Det är funktionen $F$ som deriveras här, inte funktionen $f$.

Om man vill vara petig så kanske detta resonemang duger: För varje ändligt intervall $[a_n,b_n]$ finns ett motsvarande $c_n$; låt $a_n$ avta mot $-\infty$ och $b_n$ växa mot $\infty$ vilket ger(?) att $c_n$ närmar sig ett reellt tal $c$, och eftersom $f$ är kontinuerlig i $c$ så följer det att $f(c_n) \to f(c)$ när $n \to \infty.$ 

    $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n-a_n}\int_{a_n}^{b_n}f(t)dt = \lim_{n\to\infty} f(c_n) = f(c).$

Fast jag håller inte med, du får jättegärna rätta mig om jag har fel här. Tag ett konkret exempel med $f(t) = t$ och vi kan då skriva

$\lim_{y \rightarrow - \infty} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\int_y^x t dt}{x-y} = \lim_{y \rightarrow - \infty} \left ( \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\int_y^x t dt}{x-y} \right ) = \lim_{y \rightarrow - \infty} \left ( \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \frac{x^2-y^2}{x-y} \right ) = \lim_{y \rightarrow - \infty} \infty = pannkaka$

Detta undviker vi om endast jobbar med stängda intervall [a,b]. Vi stöter alltså på samma problem som när vi försöker integrera en udda funktion över alla reella tal.