Generaliserade integraler; Tömma ut?
Jag förstår inte vad dom menar med att 'tömma' ut? och när 'vill' man göra det?
De verkar mena att man gör integrationsområdet större och större, och i en gränsövergång får med hela planet.
"Tömma ut" är ingen intuitiv term, tycker jag. "En uttömmande förklaring" kan man säga, om den förklarar allt.
Man kan jämföra med generaliserade enkelintegraler:
Hur ska man definiera den integralen? Eller
En vanlig integral förutsätter ju att integranden är begränsad och att intervallet man integrerar över är ändligt och slutet. Så hur löser man det i fallet med enkelintegraler? Jo man definierar integralen som gränsvärdet av en serie integraler där varje integral i serien är begränsad och på ett kompakt intervall:
Man kan se det som att när a blir större och större, alternativt kommer allt närmre 0 i den andra integralen, så blir integralen definierad på ett större och större intervall som i slutändan "uttömmer" eller "täcker" den generaliserade integralens intervall.
Man kan se det lite på samma sätt med den generaliserade multipelintegralen. Om vi exempelvis har integralen
så har vi samma problem som i fallet med den första enkelintegralen: integrationsområdet är oändligt stort, och lösningen är alltså också den samma: vi bildar en serie av integraler på större och större områden som i gränsen inkluderar hela det obegränsade integrationsområdet. I exemplet från din bok "täcker" man eller "uttömmer" hela planet med större och större cirklar eller större och större kvadrater. Problemet är att man inte bara kan låta x eller y gå mot oändligheten nu, båda måste gå mot oändligheten samtidigt.
Om vi då tillexempel tänker oss en oändlig följd av områden där är en cirkel med mittpunkt i origo och radie så är följden en uttömmande svit, det vill säga: varje punkt i planet ligger inuti något . Vi kan då definiera den generaliserade multipelintegralen
som
Så att vi i praktiken kan beräkna den generaliserade integralen genom att först integrera över en cirkel med radie r och sedan låta r gå mot oändligheten.
Smutsmunnen skrev:Man kan jämföra med generaliserade enkelintegraler:
Hur ska man definiera den integralen? Eller
En vanlig integral förutsätter ju att integranden är begränsad och att intervallet man integrerar över är ändligt och slutet. Så hur löser man det i fallet med enkelintegraler? Jo man definierar integralen som gränsvärdet av en serie integraler där varje integral i serien är begränsad och på ett kompakt intervall:
Man kan se det som att när a blir större och större, alternativt kommer allt närmre 0 i den andra integralen, så blir integralen definierad på ett större och större intervall som i slutändan "uttömmer" eller "täcker" den generaliserade integralens intervall.
Man kan se det lite på samma sätt med den generaliserade multipelintegralen. Om vi exempelvis har integralen
så har vi samma problem som i fallet med den första enkelintegralen: integrationsområdet är oändligt stort, och lösningen är alltså också den samma: vi bildar en serie av integraler på större och större områden som i gränsen inkluderar hela det obegränsade integrationsområdet. I exemplet från din bok "täcker" man eller "uttömmer" hela planet med större och större cirklar eller större och större kvadrater. Problemet är att man inte bara kan låta x eller y gå mot oändligheten nu, båda måste gå mot oändligheten samtidigt.
Om vi då tillexempel tänker oss en oändlig följd av områden där är en cirkel med mittpunkt i origo och radie så är följden en uttömmande svit, det vill säga: varje punkt i planet ligger inuti något . Vi kan då definiera den generaliserade multipelintegralen
som
Så att vi i praktiken kan beräkna den generaliserade integralen genom att först integrera över en cirkel med radie r och sedan låta r gå mot oändligheten.
Intressant.. Kallas detta (sats kanske?) för något speciellt?
Det är alltså inte en sats, det är definitionen av en generaliserad mutlipelintegral.