Generaliserade integraler och jämförelsekriteriet

Om du beräknar integralen och värdet blir ändligt har du ju per definition visat att integralen konvergerar.

När det är så pass lätt att beräkna integralen kan det ibland vara lättast att visa konvergens genom att beräkna integralen.

Om du verkligen vill ha något att jämföra med kan du ju använda att

$\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}<>$

eftersom $x<>$ på intervallet $[0,1)$.

AlvinB skrev:

Om du beräknar integralen och värdet blir ändligt har du ju per definition visat att integralen konvergerar.

Kommentar som inte har med själva den här uppgiften att göra: ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ borde väl inte betraktas som konvergent?

Tack!

Laguna skrev:

AlvinB skrev:

Om du beräknar integralen och värdet blir ändligt har du ju per definition visat att integralen konvergerar.

Kommentar som inte har med själva den här uppgiften att göra: ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ borde väl inte betraktas som konvergent?

 Korrekt, det gäller att inte luras av att direkt beräkna integralen som en skillnad av de primitiva funktionsvärdena av integrationsgränserna; det får man bara göra ifall integranden är kontinuerlig på det slutna intervallet som utgörs av integrationsgränserna. Man kan även med hjälp av gränsvärden beräkna integralen på detta vis ifall diskontinuiteterna är i intervallets ändpunkter, men om diskontinuiteterna ligger i det öppna intervallet mellan integrationsgränserna är man tvungen att dela upp integralen:

$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\ dx=\int_{-1}^0\frac{1}{x^2}\ dx+\int_0^1\frac{1}{x^2}\ dx=...=\infty$