Generaliserade integraler - behöver man skriva limens a —> oändligheten i varje steg?

detrr skrev:

Hej, jag har en snabb fråga. Behöver man skriva lim a —> oändligheten i varje steg när man ska undersöka om en generaliserad integral är konvergent eller räcker det med att man har det i början och i det sista steget? 

På prov, Ja. Men bara för dig själv, njah. Det handlar ju inte om att skriva ner allting utan att förstå vad som händer. 

Det räcker om du har det i början och i det sista steget, men då får du inte skriva likhetstecken mellan limes och det som följer därefter. Det är alltså fel att i början skriva

    $\displaystyle\lim_{a\to\infty}\int_{1}^{a}x^{-4}\,dx = \int_{1}^{a}x^{-4}\,dx$

och i slutet skriva 

    $1/3-1/(3a^2)=\lim_{a\to\infty}(1/3-1/(3a^2))=1/3.$

Okej, men då blir det bästa att ha med lim i varje steg så att jag vänjer mig med det. 

Tack för hjälpen! :)

Eller också kan du skriva $$\begin{gathered} {\int }_1^{\infty }f\left(x\right)dx=\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_1^{a}f\left(x\right)dx \\ {\int }_1^{a}f\left(x\right)dx=\left[F\right(x){]}_1^a=F(a)-F(1\left) \\ \underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_1^{a}f\right(x)dx=\underset{a\to \infty }{\lim }F(a)-F(1) \end{gathered}$$ fast för din specifika funktion.
Då slipper du limes på mellanraden, där man gör de flesta beräkningarna.

Okej, tack! 

Såhär hade jag skrivit.

Det gäller att

    $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^4}\,dx = \lim_{a\to\infty}\int_{1}^{a}\frac{1}{x^4}\,dx.$

Sedan gäller det att

    $\displaystyle\int_{1}^{a}x^{-4}\,dx = [-x^{-3}/3]_{1}^{a} = -a^{-3}/3 - (-1^{-3}/3) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3a^3}$

så att den sökta integralen är konvergent och lika med $1/3.$

    $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^4}\,dx = \lim_{a\to\infty} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3a^3}) = \frac{1}{3}.$