Generaliserade integraler

Hej,

Jag ska avgöra om följande integraler är konvergenta eller divergenta genom att använda jämförelsesatsen, men i a) vet jag inte vilken funktion jag ska jämföra den med och i b) så jämför jag med $\frac{1}{\sqrt{x^{5}}}$ men den är divergent och i facit står det att b) ska vara konvergent, vad har jag gjort för fel?

a) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{3} - 1}} d x$

b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x + x^{5}}} d x$

Det gäller att hitta rätt funktioner att jämföra med – $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{5}}} d x$ är större än integralen i (b), och kan därför bara användas för att bevisa att en mindre funktion är konvergent. Du behöver med andra ord hitta en funktion som är större och konvergent än (b), alternativt en funktion som är mindre och divergent.

För x nära noll är det intressantare att titta på x än på x^5.

Men hur gör jag för att hitta rätt funktion?

Och hur gör jag i a)?

Titta t ex på 1 genom roten ur (2x)

I a vet vi att integralen av dx/x^p är konvergent när x går mot oändligheten ifall p > 1.

Jag löste b), men a) består ju av $\sqrt{x^{3} - 1}$ och inte bara x så jag vet inte hur jag ska använda den regeln

Jag försökte använda $\frac{1}{\sqrt{x^{3} - x}}$ men jag vet inte hur jag ska integrera det

Vi vet att integralen 1/(roten ur x^3) = int (1/x^1,5) konvergerar när vi går mot infinity.

Då konvergerar även 4/ (roten ur x^3) = 1/ (roten ur x^3 / 2)

x^3 / 2 < x^3 –1 för stora x, dvs

1/ (roten ur x^3 / 2) > 1 / [roten ur (x^3 – 1)]

så givna integralen är konvergent.

Ok, tack! Men hur kom du fram till att man kunde jämföra b) med $\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}}$ ?

3.14 skrev:
Ok, tack! Men hur kom du fram till att man kunde jämföra b) med $\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{3}}{2}}}$ ?

Ja du, det är väl rutin, men det svaret är ingen stor hjälp. Min första tanke är att (roten ur) x^3 eller x^3–1 inte kan spela någon roll, när x är jättestort spelar minus ett knappast någon roll, som att ta bort en atom ur universum.
Men det är ju inget bevis fastän jag känner mig 100% säker. Jag har ingen sats som garanterar att den sista atomen är oväsentlig.

Men tar jag bort en atom ur univ är det garanterat mer kvar än halva univ (egentligen delat med roten ur två) och där kan jag använda räknereglerna.

Kanske tänker jag så, och så har jag sett liknande exempel, det är såklart viktigt.

Aha, okej. Men går det lika bra att ta $\frac{1}{\frac{\sqrt{x^{3}}}{2}}$ istället eller blir det fel då?

Ja det går lika bra. Som jag tänker kan du ha x^3/ en miljon.

Svara

Visa senaste svar