Generaliserade integral

I polära koordinater är ju $x=r\cos(\theta)$. Sätter man in det i $x^2$ får man:

$x^2=(r\cos(\theta))^2=r^2\cos^2(\theta)$

$$\begin{gathered} x = r \cos \theta \\ {x}^2 = (r \cos \theta {)}^2 = r^2 {\cos }^2 \theta \end{gathered}$$

tackar, varifrån kommer (1+cos2q)/2 ?

Det är en trigonometrisk identitet som säger att:

$\cos^2(v)$ $=\dfrac{1+\cos(2v)}{2}$

AlvinB skrev:

Det är en trigonometrisk identitet som säger att:

$\cos^2(v)$ $=\dfrac{1+\cos(2v)}{2}$

 finns det fler sådana "identitet"?

Hej!

Det två integralerna $\iint_{\mathbf{R}^2}x^2e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy$ och $\iint_{\mathbf{R}^2}y^2e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy$ är samma tal, som du kan beteckna med bokstaven $I$. Då gäller det att

    $I+I=\iint_{\mathbf{R}^2}(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy.$

Uttryckt i planpolära koordinater $(r,\theta)$ blir differentialytelementet $dxdy = rdrd\theta$ så att du kan skriva

    $\displaystyle 2I = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\infty}r^3e^{-r^2}\,drd\theta.$

Det visar att den ursprungliga generaliserade integralen är konvergent och att den är lika med talet

    $\displaystyle I = \pi\cdot\int_{r=0}^{\infty}r^3e^{-r^2}\,dr = \frac{\pi}{2}.$

Ja, det finns en hel drös med trigonometriska formler. Man behöver så klart inte memorera alla, men det kan vara bra att i alla fall ha hört talas om dem:

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/trigonometri

Albiki skrev:

Hej!

Det två integralerna $\iint_{\mathbf{R}^2}x^2e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy$ och $\iint_{\mathbf{R}^2}y^2e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy$ är samma tal, som du kan beteckna med bokstaven $I$. Då gäller det att

    $I+I=\iint_{\mathbf{R}^2}(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy.$

Uttryckt i planpolära koordinater $(r,\theta)$ blir differentialytelementet $dxdy = rdrd\theta$ så att du kan skriva

    $\displaystyle 2I = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\infty}r^3e^{-r^2}\,drd\theta.$

Det visar att den ursprungliga generaliserade integralen är konvergent och att den är lika med talet

    $\displaystyle I = \pi\cdot\int_{r=0}^{\infty}r^3e^{-r^2}\,dr = \frac{\pi}{2}.$

Intressant, har två frågor:
1. har alltid haft problem med integralgränserna 2-0 och oänd-0,hur tänkte du där?
2.  Sista steget förstod jag inte hur det blev 1/2

nyfiken888 skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Det två integralerna $\iint_{\mathbf{R}^2}x^2e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy$ och $\iint_{\mathbf{R}^2}y^2e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy$ är samma tal, som du kan beteckna med bokstaven $I$. Då gäller det att

    $I+I=\iint_{\mathbf{R}^2}(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy.$

Uttryckt i planpolära koordinater $(r,\theta)$ blir differentialytelementet $dxdy = rdrd\theta$ så att du kan skriva

    $\displaystyle 2I = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\infty}r^3e^{-r^2}\,drd\theta.$

Det visar att den ursprungliga generaliserade integralen är konvergent och att den är lika med talet

    $\displaystyle I = \pi\cdot\int_{r=0}^{\infty}r^3e^{-r^2}\,dr = \frac{\pi}{2}.$

Intressant, har två frågor:
1. har alltid haft problem med integralgränserna 2-0 och oänd-0,hur tänkte du där?
2.  Sista steget förstod jag inte hur det blev 1/2

 Hej!

Fråga 1. Att punkten $(x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}$ i cartesiska koordinater är samma sak som att punkten $(r,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)$ i planpolära koordinater.

Fråga 2. Använd partiell integration för att beräkna integralen

    $\int_{r=0}^{\infty}r^3e^{-r^2}\,dr = \frac{1}{2}.$