Generaliserade egenvektorer
Hej!
Hur kan vi, på papper ingen dator, ta fram de generaliserade egenvektorerna om första ordningens generaliserade egenvektorer inte finns? Vad jag vet, så tar vi fram andra ordningens generaliserade egenvektorer m.h.a första ordningens, och så kan vi ta fram tredje osv osv, Men om vi inte kan bestämma eller om första ordningen inte 'finns'? hur kan vi bestämma de generaliserade egenvektorerna då?
Jag började tänka i banorna om att skriva en linjär rekursion men är inte riktigt säker på det.
Är det någon som har någon idé eller vet hur man gör?
Detta är ingen tentafråga, är bara nyfiken och vill gärna lära mig.
Tack på förhand!
Kan du ge oss den definition av ”första ordningens generaliserade” egenvektor som du använder?
Första ordningens generaliserade egenvektor, säg x_0, är samma sak som en vanlig egenvektor, d.v.s
(A - \lambda I)x_0 = 0.
Och en generaliserade egenvektor x av ordning d, för något d >1, definierar vi som
(A-\lambda I)^d x = 0
Då får vi följande att en generaliserade egenvektor för ordning i (det understrukna):
(A-\lambda I)^(d-i) (A-\lambda I)^i x) = 0
Men detta innebär att :
(A-\lambda I)^(1) (A-\lambda I)^(d-1) x) = 0 = (A - \lambda I)x_0
således
(A-\lambda I)^(d-1) x = x_0, så hur vi får fram generaliserade egenvektorer av resp. ordning (upp till ordning d) är genom den 'vanliga' egenvektorn. Och jag undrar vad som händer när vi inte har en vanlig egenvektor?
Påpeka gärna mina misstag, relativt nytt område för mig
Tomten skrev:Kan du ge oss den definition av ”första ordningens generaliserade” egenvektor som du använder?
Här är definitionen från kursmaterialet vi använder, och det är sista meningen som jag undrar över hur vi gör om vi inte har en egenvektor
Då jag inte har grekiska bokstäver så använder jag svenska. Den sista meningen får enligt mig då följande betydelse: v är en "power vektor" av ordningen p till transformationen L omm (L-t I)p(v) =0 enligt definitionen.
Sätt u=(L-t I)(v) Då är 0= (L-t I)p (u)=(L-t I)p-1 (L-t I)(v) vilket innebär att u betraktad som den vektor den onekligen är, så är u en "power vektor" av ordningen p-1. Processen kan itereras ner till ordningen p-1 då man landar i en egenvektor i vanlig betydelse.
Tomten skrev:Då jag inte har grekiska bokstäver så använder jag svenska. Den sista meningen får enligt mig då följande betydelse: v är en "power vektor" av ordningen p till transformationen L omm (L-t I)p(v) =0 enligt definitionen.
Sätt u=(L-t I)(v) Då är 0= (L-t I)p (u)=(L-t I)p-1 (L-t I)(v) vilket innebär att u betraktad som den vektor den onekligen är, så är u en "power vektor" av ordningen p-1. Processen kan itereras ner till ordningen p-1 då man landar i en egenvektor i vanlig betydelse.
Det är så jag tolkat det med, men om det inte finns en 'vanlig' egenvektor hur kan vi starta iterations-processen om vi inte har startvärdet? xD
Iterationen startar på ordningen p>1 där (L-t I)p(v)=0 ingår i förutsättningen och det du undrar över Följer genom resonemanget i texten.
