Generaliserad integral, konvergent elr. divergent, med negativ nämnare (envariabelanalys)

Jag har försökt jämföra följande integral för att bestämma om den är konvergent eller divergent. Det jag försökt med är att hitta funktioner för täljare resp. nämnare som är större/mindre (för jämförelsen, utgår från att testa båda hållen). Problemet uppkommer när jag vill jämföra 1-x^3. Tidigare har jag tänk att, som ett exempel om det nu var 1+x^3 istället, att 1 är mindre än x^3, därför är 1+x^3 mindre än 2x^3 (inte applicerbart här). När jag nu gör liknande blir det knasigt, eftersom -x^3 är mindre än 1.

Jag är lite förvirrad men hoppas att någon kanske har en idé eller tanke på metod? Tycker generellt att jämförelsemetoden är lite väl godtycklig och att man ju måste vara en riktig fena i ämnet för att kunna utföra matteyogan.

Tack på förhand!

Hej,

Då $x>1$ är det tillåtet att göra följande begränsning.

$x\sqrt{x}+x \leq 2x\sqrt{x}.$

Detta tillsammans med undre begränsning $1-x^3 \geq -x^3$ ger

$\displaystyle\int_{30}^{\infty} f(x)\,dx \leq \int_{30}^{\infty}-2x^{1.5-3}\,dx.$

Albiki skrev:
Hej,
Då $x>1$ är det tillåtet att göra följande begränsning.
$x\sqrt{x}+x \leq 2x\sqrt{x}.$
Detta tillsammans med undre begränsning $1-x^3 \geq -x^3$ ger
$\displaystyle\int_{30}^{\infty} f(x)\,dx \leq \int_{30}^{\infty}-2x^{1.5-3}\,dx.$

Ahaaa! (glödlampa tänds)

Tack för genialiteten!

Så omskrivningen/jämförelsen av VL till HL $x \sqrt{x} + x \leq 2 x \sqrt{x}$ är gjord med tanken att $x \sqrt{x} + x$ är mindre än/lika med $x \sqrt{x} + x \sqrt{x}$ ? Har jag tolkat dig rätt då haha?

Ja, det var tanken. :)

Svara

Visa senaste svar