Generaliserad integral, konvergent/divergent, flervariabel
Har provat att beräkna den med polära kordinater men går sådär.
Men tror jämförelsesatsen ska användas här och kanske lägga ett +1 i täljaren och arbeta med den istället, men vet inte hur.
Tips?
Hur går det om du jämför med en integral som inte har + 1 i nämnaren?
Tänkte att om täljaren har +1 så är den större, konvergerar den gör även uppgiften den.
Testa följande resonemang. Integranden f är positiv, begränsad och kontinuerlig i helaplanet bl a just pga 1:an i nämnaren. Då kan vi skära bort en kvadrat omkring origo med sidan R<oändl. Integralen av f på denna kvadrat är då begränsad och utanför den är x skild från 0. Bryt därefter ut x2 ur den högra parentesen. Inuti den står då 1+(y/x)2. Utanför kvadraten är detta ofarligt. Följ sedan Lagunas tips att skatta bort 1:orna och integrera en variabel i taget a’ la Fubini. Länge sedan jag gjorde sånt men det borde konvergera.
Tack för kommentaren.
Gjorde enligt följande metod:
Jag la till en etta i täljaren för att använda jämförelsesatsen. Det medför att man kan stryka (1+x^2) vilket förenklar räkningarna.
Ett knep är att först titta på hur 1/(x^2+y^2)^(3/2) beter sig på cirkelskivan med radie 1. Gör man kordinat byte och integrerar ser man att den är konvergent.
Sedan integrerar man med samma byte fast gränserna blir [1, R] där R går mot oändligheten. Vilket samma slutsats kan dras, konvergent.
Eftersom både dessa konvergerar kan vi säga att integralen över R2 är konvergent och uppgiften blir även konvergent.
Ser ut att funka bra.
