generaliserad integral (envariabelanalys)

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Ska beräkna denna och har fått fram rätt svar men blev osäker på en sak om det är korrekt att skriva så

jag gjorde variabelsubstitution u = 1 -x^2 och sen beräknade nya gränser som till slut blev

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ och sen beräknade jag $\int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = - \frac{1}{2} \lim_{C \to 0^{+}} \int_{1}^{c} \frac{1}{\sqrt{u}}$

det jag är osäker på är följande:

1. Kan man skriva såhär mede att integralgränserna går från 1 till 0 och inte tvärtom ?

2. Om man kan skriva enligt ovan, ställer det då att lim c--> 0+ och inte 0- ? för annars kommer den från det hållet där integralen ej ska räknas, eller tänker jag fel?

tack för hjälpen!

1. Om du multiplicerar integralen $- \frac{1}{2} \lim_{C \to 0^{+}} \int_{1}^{c} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ med -1 så får du $\frac{1}{2} \lim_{C \to 0^{+}} \int_{C}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Alltså försvinner minus innan integralen och gränserna byter plats.

Mjausa skrev:
1. Om du multiplicerar integralen $- \frac{1}{2} \lim_{C \to 0^{+}} \int_{1}^{c} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ med -1 så får du $\frac{1}{2} \lim_{C \to 0^{+}} \int_{C}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Alltså försvinner minus innan integralen och gränserna byter plats.

aa okej men är del fel och beräkna som jag gjorde?

Det är inte fel om jag har förstått integraler rätt från gymnasiet sen tidigare, men vet att de specifikt i denna kurs (antar SF1625 på KTH) ibland kan vara väldigt kinkiga med hur man sätter sina integrationsgränser. :)

Och jag tycker det låter rimligt att du måste ha $0^{-}$ istället för $0^{+}$ ,

men jag vet faktiskt inte om man får göra det, men det låter rimligt enligt mig, eftersom du har från andra hållet. Men om du är osäker på om man får (lite googlande får nog fram ett svar) så kan du använda dig av det jag visade med att gränserna byter plats. :)

Mjausa skrev:
Det är inte fel om jag har förstått integraler rätt från gymnasiet sen tidigare, men vet att de specifikt i denna kurs (antar SF1625 på KTH) ibland kan vara väldigt kinkiga med hur man sätter sina integrationsgränser. :)

Och jag tycker det låter rimligt att du måste ha $0^{-}$ istället för $0^{+}$ ,
men jag vet faktiskt inte om man får göra det, men det låter rimligt enligt mig, eftersom du har från andra hållet. Men om du är osäker på om man får (lite googlande får nog fram ett svar) så kan du använda dig av det jag visade med att gränserna byter plats. :)

okej tack för hjälpen!

Vad fick du för svar?

blairdolf skrev:
Vad fick du för svar? Jag fick att lim (c->1^-1) (fx) =-1 och undrar om jag gjort rätt

jag fick $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = 1$

okej tack!! ska dubbelkolla min lösning

Eftersom det är en integral där integrationsriktningen är entydigt bestämd tror inte jag att 0+ eller 0- behövs i gränsvärdes beräkningen. Bara det blir rätt + eller - blir det i vart fall inte fel att skriva dit det. Kanske finns exempel att se hur läraren gör i sådan fall.

Svara

Visa senaste svar