Generaliserad integral, avgöra divergens

Bra början att dela upp, så långt är rätt. Sen gör du en liten tankemiss. Att funktionen går mot 0 betyder inte att integralen av funktionen gör det. Att byta ut tan mot π/2 är en bra början för att visa konvergens, om det är det vi kommer fram till. Sen har du fått med ett extra 1/x, men tror bara det är skrivfel.

Att ena skulle vara divergent så blir hela divergent är nästan sant. Men undantaget att ena blir +00 och andra -00, tex om du integrerar 1-1 överallt, det går bra att dela i 2 oändliga integraler fast det bara blir 0. Får man en sån situation måste man ta reda på mer. 

Du uppskattar uttrycket, men sen gör du fel när du bara kollar vad som händer med integranden då x går mot oändligheten. Du ska kolla vad som händer med hela integralen. I det andra fallet uppskattar visar du att integranden är mindre än en integrand som ger en divergent integral, det visar ingenting. Om du vill visa att den är konvergent visar du att den är mindre än en konvergent integral. Om du vill visa att den är divergent visar du att den är större än en divergent integral.

Felet du har gjort på den andra är att avrunda tan uppåt och påstå divergens. Allt är mindre än något divergent, så vid den slutsatsen får du bara avrunda nedåt. 

Hitta jämförelsesatserna i boken, faktorisera, och jämför. 

För första integralen skriver vi att den är mindre än (π/2)/(x2+x), som i sin tur är mindre än (π/2)/(x2). Den är konvergent pga att samma a du skrev om =2, och i oändligheten betyder >1 konvergent. Att bara behålla högsta eller lägsta termen i nämnaren på det här sättet är ett av dina viktigaste verktyg mot generaliserade integraler. 

Sen har vi delen mellan 0 och 1. Faktorisera den i arctan(rot)/rot * 1/(rot*x +rot). Den första delen är ett standardgränsvärde som går mot 1. Den andra delen är mindre än 1/rot, och då får du precis den integralen du jämför med fast a= 1/2. Till sist knyter du ihop del 2 med jämförelsesatsen som säger att en integral med en konvergent funktion (1/rot) gånger en annan funktion med ändligt gränsvärde också blir konvergent. 

Ja precis, på min tredje rad ska det stå $\frac{arc\tan \sqrt{x}}{x(x+1)}<\frac{1}{x}\frac{\mathrm{\pi }/2}{x+1}$

Vilket jag borde kunna utveckla till (för x =>1)

$\frac{1}{x}\frac{\mathrm{\pi }/2}{x+1}<\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{\pi }}{1+1/x}<\frac{\mathrm{\pi }}{x^2} \iff$

${\int }_1^{\infty }\frac{arc\tan \sqrt{x}}{x(x+1)}<{\int }_1^{\infty }\frac{\mathrm{\pi }}{x^2}=\mathrm{\pi }{\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx$

Där HL är konvergent. Eftersom HL > VL så är VL konvergent.

Här gjorde jag alltså innan misstaget att faktorisera 1/x istället för 1/x^2.

Den andra integralen är lite knepigare 

$\frac{arc\tan \sqrt{x}}{x(x+1)}=\frac{arc\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \frac{1}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}<\frac{arc\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{x}}$

Där

 $\frac{arc\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \to 1, x\to 0 (std grv)$

(eller menar du att jag borde skriva integralen?)

och ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$ är konvergent.

Jämförelsesatsen ger att

${\int }_0^1\frac{arc\tan \sqrt{x}}{x(x+1)}$ är konvergent, eftersom den som ovan visat är lika med ett ändligt gränsvärde * en konvergent funktion.

(Alltså i stil med att $f\left(x\right)=g\left(x\right)h\left(x\right)$, där g(x) existerar ändligt och h(x) är konvergent så att f(x) då också är konvergent).

Om man ska avgöra konvergens eller divergens, alltså att man får ett tal utan att veta hur det beter sig.. finns det något allmänt tips för när man t ex gissar konvergens men istället borde prova divergens? Alltså magkänsla för åt vilket håll man ska utveckla. Ska ju utveckla till något större för konvergens och mindre för divergens.

Micimacko skrev:

Att ena skulle vara divergent så blir hela divergent är nästan sant. Men undantaget att ena blir +00 och andra -00, tex om du integrerar 1-1 överallt, det går bra att dela i 2 oändliga integraler fast det bara blir 0. Får man en sån situation måste man ta reda på mer. 

Då är det alltså inte nödvändigtvis fel om man får att en term är divergent medan den andra är konvergent?

"Det går bra att dela i 2 oändliga integraler fast det bara blir 0." Vad menar du? Att man delar upp en integral i två där vardera integral -> oändligheten?

Jag menar att om du tex har integralen 0, och gränserna +00 och -00 så blir det såklart 0. Men om du istället väljer att skriva 0 som 1-1 så kan du dela i 2 olika integraler, 1 i ena och -1 i andra. Då får du en som går mot pos oändlighet + en som går mot negativ oändlighet. Men den är inte divergent ändå, för den är fortfarande 0. Finns liknande fall som inte blir just 0, tror de kallas något med teleskop. Men om den ena är oändlig och den andra inte så är summan oändlig. 

Det jag brukar göra först för att gissa konvergens är att försöka se vad som har störst effekt i täljare och nämnare. Här hjälper det att ha bra koll på standardgränsvärdena och hastighetstabell. Tänk på att ditt a i jämförelseintegralen ungefär talar om vad skillnaden i grad är på din funktion. Så om x går mot 0 vill du ha liten skillnad, så behåll högsta grad i täljare och lägsta i nämnare. Tvärtom ifall x går mot oändligheten. För att sätta grad på andra funktioner så ta första biten i taylorpolynomet. Så har du en ganska bra gissning sen om det konvergerar.