generaliserad integral är konvergent eller divergent uppg 2 (envariabelanalys)

I a är det en bra idé. Vad kan man säga om $e^{-x}$ i intervallet [0,1]?

Laguna skrev:

I a är det en bra idé. Vad kan man säga om $e^{-x}$ i intervallet [0,1]?

man kan säga att den är positiv och större än noll

men varför kan man sätta in [0,1] utan att göra det i x i nämnaren? kan man alltid det eller är det så man löser uppgifter där man ska avgöra konvergens?

edit: förstår inte hur man kommer på att man ska göra just det steget, är det något allmänt känt tillvägagångssätt? såg det i facit också

En funktion som inte är 0 eller oändlig på integrationsområdet kommer inte påverka konvergensen, så man brukar försöka byta ut sånt till något likvärdigt men som är lättare att integrera. Om man vill visa konvergens måste man avrunda uppåt och vill man visa divergens får man bara avrunda nedåt.

Micimacko skrev:

En funktion som inte är 0 eller oändlig på integrationsområdet kommer inte påverka konvergensen, så man brukar försöka byta ut sånt till något likvärdigt men som är lättare att integrera. Om man vill visa konvergens måste man avrunda uppåt och vill man visa divergens får man bara avrunda nedåt.

okej så jag sätter jag nämnaren utanför integralen och visar att 1/x divergerar och därför kommer allting divergera? räcker det som motivering eller finns det massa mellansteg jag missat?

Maremare skrev:

Laguna skrev:

I a är det en bra idé. Vad kan man säga om $e^{-x}$ i intervallet [0,1]?

man kan säga att den är positiv och större än noll

men varför kan man sätta in [0,1] utan att göra det i x i nämnaren? kan man alltid det eller är det så man löser uppgifter där man ska avgöra konvergens?

edit: förstår inte hur man kommer på att man ska göra just det steget, är det något allmänt känt tillvägagångssätt? såg det i facit också

[0,1] är hela integrationsintervallet, så det är där vi ska titta på hur e^-x beter sig.

Den är positiv, ja (och större än noll är samma sak), men den har en övre gräns också.

Laguna skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

I a är det en bra idé. Vad kan man säga om $e^{-x}$ i intervallet [0,1]?

man kan säga att den är positiv och större än noll

men varför kan man sätta in [0,1] utan att göra det i x i nämnaren? kan man alltid det eller är det så man löser uppgifter där man ska avgöra konvergens?

edit: förstår inte hur man kommer på att man ska göra just det steget, är det något allmänt känt tillvägagångssätt? såg det i facit också

[0,1] är hela integrationsintervallet, så det är där vi ska titta på hur e^-x beter sig.

Den är positiv, ja (och större än noll är samma sak), men den har en övre gräns också.

okej så vad händer efter det då? man bryter ut e ur integralen och kollar vidare på 1/x? kan man direkt säga att den divergerar då det är ett standardvärde eller måste man räkna något vidare?

Nej du behöver inte räkna, det är standard.

Micimacko skrev:

Nej du behöver inte räkna, det är standard.

tusen tack för din hjälp!

Hej,

Med Maclaurinutveckling kan du skriva 

    $e^{-x} = 1-x+o(x^2)$

där $o(x^2)$ är en funktion sådan att $\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2} = 0.$ Detta ger integralen

    $\displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-x}}{x}\,dx = \int_{0}^1 \frac{1}{x} - 1 + \frac{o(x^2)}{x} \,dx = \int_0^1\frac{1}{x}\,dx - 1 + \int_0^1\frac{o(x^2)}{x}\,dx.$

Den första integralen är divergent.