generaliserad integral

Hej

jag behöver hjälp med att förstå hur man ska lösa följande uppgift:

Avgör om den generaliserade integralen

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3} + x} d x$

är konvergent och beräkna i så fall dess värde.

Jag började med att sätta $\frac{l i m}{R \to \infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x^{3} + x} d x$

Sedan började jag att partialbråksuppdela $\frac{1}{x^{3} + x} = \frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

Enligt facit så satte dom sedan $\frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 1}$ och integrerade $\int_{1}^{R} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 1}) d x$ och fick ${[\ln x - \frac{1}{2} \times \ln (x^{2} + 1)]}^{R}_{1}$ men i nästa steg ska man tydligen sätta ${[\ln \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}]}^{R}_{1}$

Det är två saker jag har lite problem med. Hur får man fram $\frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 1}$ och hur får man $[\ln \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}]$ ur ${[\ln x - \frac{1}{2} \times \ln (x^{2} + 1)]}^{R}_{1}$

Att försöka integrera en funktion som är en produkt av olika faktorer är... besvärligt, för att använda ett milt ord, men att integrera en funktion som är en summa av olika termer är enkelt, det är bara att integrera varje term för sig. Så om man kan göra om produkten $f(x) = \frac{1}{x^3-x} = \frac{1}{x(x^2+1)}$ till summan $f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} + 1}$ vore mycket vunnet. Det är denna omskrivning som kallas partialbråksuppdelning, och det har du säkert haft en genomgång om.

$\ln x - \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) = \ln x - \ln \sqrt{x^{2} + 1} = \ln \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ genom användande av logaritmlagarna.

okej nu förstår jag, jag missade det. Jag fick sedan att $\ln \frac{R}{\sqrt{R^{2} + 1}} - \ln \frac{1}{\sqrt{2}}$

Sista steget så sätter dom $\ln \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{R^{2}}}} + \frac{1}{2} \times \ln 2 \to \frac{1}{2} \times \ln 2 d å R \to \infty$

jag förstår inte varför dom sätter $\ln \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{R^{2}}}} + \frac{1}{2} \times \ln 2$

$\frac{R}{\sqrt{R^{2} + 1}} = \frac{\frac{1}{R} R}{\frac{1}{R} \sqrt{R^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^{2}} (R^{2} + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{R^{2} + 1}{R^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}} + \frac{1}{R^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{R^{2}}}}$

Hej!

Vid partialbråksuppdelning skriver man

$\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}$

där det gäller att bestämma konstanterna $A$ och $B$ och $C$

Med hjälp av Handpåläggningsmetoden får man $A = 1$ och $B = -1$ och $C=0$ som ger integralen

$\int_{1}^{n} \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \,\text{d}x = \ln n - \ln 1 - \int_{1}^{n}\frac{x}{1+x^2}\,\text{d}x\ .$

Eftersom derivatan $\frac{\text{d}(1+x^2)}{\text{d}x} = 2x$ så kan man (formellt) skriva

$x \text{d}x = 0.5\text{d}(1+x^2)$

vilket ger integralen

Error converting from LaTeX to MathML

Sätter man in detta i den ursprungliga integralen får man följande.

$\int_{1}^{n} \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \,\text{d}x = \ln n - \ln \sqrt{1+n^2} + \ln \sqrt{2} = \ln \frac{n}{\sqrt{1+n^2}} + \ln \sqrt{2}\ .$

Detta visar att den generaliserade integralen är konvergent och att dess värde är $\ln \sqrt{2}\ .$

Albiki

jag är med på det mesta men hur får vi rottecknet för den andra integralen? borde vi inte få $\frac{\ln (n)}{1 + n^{2}} - \ln \frac{1}{2}$

Svara

Visa senaste svar