Generalised Likelihood Ratio Test (GLRT)

Hej, förstår inte riktigt en sak när det kommer till testet:

$λ = \frac{L (\hat{β_{0})}}{L (\hat{β)}}$

Givet normalfördelningen estimerar vi mu och sigma s.a : $β = (μ, σ)$

Vi ska testa de nästlade hypoteserna:

$H_{0} : β_{0} \in Ω_{0} v s H : β \in Ω$

Där jag förstår det som att $Ω$ är ett område i planet och det gäller för H_0 att:

$Ω_{0} = (μ_{0}, σ)$ , så Omgea_0 är subset av Omega.

Alltså vi har ett låst mu till mu_0 som är nollhypotesen för värdet på mu men vi har ett fritt sigma. Så jag tänker att R^3 och xyz-grafen här blir: z = L(beta), x = mu, y = sigma och att vi skär ut funktionsgrafen för mu_0 och deriverar så vi får det sigma som givet mu_0 ger högst L(beta).

Här gäller det då att om testet hamnar nära 1 så förkastar vi inte H_0 men om testet är långt ifrån 1 så förkastar vi H_0.

Jag fick detta förklarat för mig som att om Beta_0 ligger nära Beta i planet, där Beta är den riktiga maxpunkten, då får vi ett lambda som ungefär blir 1 (förståeligt).

Men vad säger emot att ett Beta_0 som ligger långt bort från det riktiga Beta inte ger L(Beta_0) ≈ L(Beta) ? Jag skulle väl kunna ha ett funktionsvärde som är nästan lika högt som maxpunkten och som ligger en bit bort? Eller finns det restriktioner på funktionen L som gör att det inte är möjligt?

Mvh

Det känns som att du missförstår något kring statistiska hypotestest generellt.

"Men vad säger emot att ett Beta_0 som ligger långt bort från det riktiga Beta inte ger L(Beta_0) ≈ L(Beta) ? Jag skulle väl kunna ha ett funktionsvärde som är nästan lika högt som maxpunkten och som ligger en bit bort?"

Inget säger emot det, men det är inget problem, eftersom icke-förkastande av nollhypotesen inte innebär verifikation av nollhypotesen.

MAO om kvoten diffar mycket från 1, så förkastar vi hypotesen Beta_0=Beta. Om kvoten inte diffar mycket från 1 så drar vi INTE slutsatsen att Beta_0=Beta utan vi drar inga slutsatser alls av testet.

Den fråga du sedan ställer : "Eller finns det restriktioner på funktionen L som gör att det inte är möjligt?"

Generellt sett finns inga sådana restriktioner, men för en bred familj av fördelningar, den så kallade exponentiella familjen som inkluderar normalfördelningen, exponentialfördelnignen, gammafördelningen, binomial, poission, log-normal mfl mfl mfl, så är den logaritmerade likelihoodfunktionen överallt konkav med unikt maximum och inga lokala maximum, så att likelihoodkvoten ökar monotont när vi närmar oss maximum och minskar monotont när vi avlägsnar från maximum.

Svara