Ge mig en funktion: oändligt deriverbar vars taylorserie endast konvergerar i en punkt
Den punkten är alltså approximationspunkten själv. Varför säger man ens att den konvergerar i den punkten? Den är ju exakt lika med även med ändligt antal termer i taylorpolynomet.
Jag vet redan ett exempel: e^(-1/abs(x)) definierar f(0)=0. Jag vill ha fler.
Har inget svar på din fråga, men väl en bokrekommendation.
Boken Counterexamples in Analysis av Gelbaum och Olmsted är full av funktioner (och andra typer av matematiska objekt) med konstiga och ointuitiva egenskaper, så det är mycket möjligt att du hittar det du söker där.
Dock stor varning för mardrömmar om man bläddrar runt för mycket i sådana där "Counterexamples in [...]"- böcker, för vissa av exemplen folk har konstruerat genom historien är verkligen riktigt otrevliga (eller fascinerande, beroende på hur man ser det). Om inte annat får man en nästan överväldigande känsla av hur oerhört mycket matematiska objekt som (i någon mening) existerar, men som vi människor aldrig någonsin kommer att aktivt föreställa oss under universums livstid...
Nyfiken: Kommer den här frågan från något resonemang kring Borels lemma? Det fall du frågar efter, och en funktion med dessa egenskaper verkar diskuteras på mathoverflow där användaren "fedja" tycks konstruera en sån funktion. Jag själv är inte kapabel att förstå hur hans exempel fungerar och fastnar lite i en slags tankeloop runt att en analytisk funktion måste vara det på något öppet intervall, medan du kräver av din lösning att konvergensradien för serien är noll (inte bara godtyckligt liten).
Jag vet att det där inte är till hjälp, men jag frågar mer för att jag är nyfiken.
Jag har nu tillbringat en timme och fyrtio miunter på oggihs boktips. Hjärnan är mos och kroppen lam. Jag befinner mig i ett trans och kräks regelbundet. Svindel, förvirring, schizofreni.
Jag hittade även ett till svar till min fråga: e^(-1/x^2)
PeBo: nej, aldrig hört talas om.
konvergensradien för serien är noll (inte bara godtyckligt liten).
inte samma? Oj, nu vet jag inte vad jag är och nosar i längre
