Ge exempel på en andragradsfunktion

Hej.

Det är tre olika andragradsfunktioner som efterfrågas i a-, b- och c-uppgiften.

... Jaha.

Då:

a) $f\left(x\right) = a{x}^2 -2(-3)+0$

b) $f\left(x\right) = 2^2-2\left(2\right)+10$

c) $f\left(2\right) = x^2-2x-5$

Gillar inte b) här riktigt. Sen ändrade jag lite hur jag formulerade svaren. Vet inte vad som är mest korrekt.

På A) vet jag inte riktigt hur jag ska bete mig för att det ska bli rätt. -2(-3) blir väl +6 tänkte jag. Sedan blir det - enligt lösningsformeln. Frågan är om man skriver så eller istället ax^2 + (-2)(-3).

Och naturligtvis, hej!

Oj, pluggade in detta i Desmos och är bevisligen helt på fel bana.

Exempelvis är det X^2 termen som avgör om det är mini eller maximipunkt, inte förstagradstermen, den avgör vad funktionens symmetrilinje hamnar på.

Sitter här nu och höftar fram korrekta funktioner när jag har det visuella framför mig, inte helt bra.

Det är bra att du börjar med drt visuella.

På a-uppgiften kan du ansätta f(x) = x²+px+q. Du vet att det minsta värdet antas då x = -3, vilket betyder att symmetrilinjen ligger vid x = -3, vilket betyder att -p/2 = -3, vilket ger dig att p = 6. Du kan hitta på vilket värde du vill på q.

På b-uppgiften kan du börja på samma sätt som på a-uppgiften. Du vet var symmetrilinjen ligger, vilket ger dig p och du kan sätta q så att funktionsvärdet vid symmetrilinjen är lika med 10.

På c-uppgiften får du använda en annan metod. Eftersom funktionen endast ska ha ett nollställe så kan du ansätta f(x) = k(x-a)², där du väljer k och a så att f(0) < -5.

Yngve skrev:

På a-uppgiften kan du ansätta f(x) = x²+px+q. Du vet att det minsta värdet antas då x = -3, vilket betyder att symmetrilinjen ligger vid x = -3, vilket betyder att -p/2 = -3, vilket ger dig att p = 6. Du kan hitta på vilket värde du vill på q.

På b-uppgiften kan du börja på samma sätt som på a-uppgiften. Du vet var symmetrilinjen ligger, vilket ger dig p och du kan sätta q så att funktionsvärdet vid symmetrilinjen är lika med 10.

På c-uppgiften blir det lite knepigare. Ett sätt att lösa uppgiften är att ansätta f(x) = k(x-a)², där du väljer k och a så att f(0) < -5.

a)

$f\left(x\right) = 2x^2+12x+20$

b) $f\left(2\right) = x^2-2x+10$

Ser att b är fel men förstår inte varför. Sätter jag in X=2 där så ser jag ju att svaret blir 10. Men ändå blir det inte korrekt. Ja symmetrilinjen blir naturligtvis fel ser jag.. men borde ändå hamna på Y=10.

Tar jag istället $f\left(x\right)=x^2-4x+10$

Så blir det korrekt.

Okej så jag behandlar det mer som en ekvation än en funktion, och därför blir det fel. Får försöka mer imorgon.

Dkcre skrev:

a)

$f\left(x\right) = 2x^2+12x+20$

Bra, det stämmer.

b) $f\left(2\right) = x^2-2x+10$

Ser att b är fel men förstår inte varför. Sätter jag in X=2 där så ser jag ju att svaret blir 10. Men ändå blir det inte korrekt. Ja symmetrilinjen blir naturligtvis fel ser jag.. men borde ändå hamna på Y=10.

Det räcker inte med att hitta en andragradsfunktion som uppfyller f(2) = 10.

Du måste hitta en vars symmetrilinje är x = 2.

Tar jag istället $f\left(x\right)=x^2-4x+10$

Så blir det korrekt.

Ja, det stämmer. Förstår du varför?

==================

Läs gärna detta avsnitt. Där står väldigt mycket matnyttigt kring andragradsfunktioner, nollställen, extrempunkter och symmetrilinje.

Fråga oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Ja, därför att halva värdet på koefficienten b resulterar i X värdet för symmetrilinjen. Jag har läst att det är så, därför vet jag det. Jag förstår inte varför det blir så dock.

Så i mitt första exempel resulterar det i 1X.

Eller, man kan se det som att den X termen beskriver bredden på parabeln. Tar man bort den termen helt och konstanten C så får man endast en nollpunkt. Fast det beskriver egentligen inte bredden heller, utan det beskriver vart på parabeln, vid vilken avstånd ifrån extrempunkten som vi har bredd bX mellan två nollställen.

Om man utelämnar konstanten C vill säga.. lägger man till den så gäller inte det längre. Varför inte då. Jo man förskjuter höjden på hela parabeln då och det blir mer invecklat.

Nej, det gäller fortfarande. Det beskriver bredden på parabeln vid ett givet y värde. Så konstanten C beskriver vart den ska få bredd bx egentligen.

C)

$f\left(x\right)=-{\left(x\right)}^2+6x-9$

$f\left(x\right)= -{(x-3)}^2$

Så det är för att den har ett nollställe eftersom (x-3)(x-3)=0 endast har lösningen X=3. Och den skär vid Y = -9.

Dkcre skrev:

Ja, därför att halva värdet på koefficienten b resulterar i X värdet för symmetrilinjen. Jag har läst att det är så, därför vet jag det. Jag förstår inte varför det blir så dock.

En bra förklaring till varför det är så hänger ihop med kvadratkomplettering.

Om du skriver uttrycket f(x) = x²+px+q på kvadratisk form med hjälp av kvadratkomplettering så blir det f(x) = (x+p/2)²-q-(p/2)². Vi ser att detta uttryck är symmetriskt med avseende på x = -p/2.

Försök gärna själv att se den symmetrin, t.ex. genom att lösa ekvationen f(x) = 0 med hjälp av pq-formeln.

Dkcre skrev:

[...]

Så i mitt första exempel resulterar det i 1X.

Eller, man kan se det som att den X termen beskriver bredden på parabeln. Tar man bort den termen helt och konstanten C så får man endast en nollpunkt. Fast det beskriver egentligen inte bredden heller, utan det beskriver vart på parabeln, vid vilken avstånd ifrån extrempunkten som vi har bredd bX mellan två nollställen.

Om man utelämnar konstanten C vill säga.. lägger man till den så gäller inte det längre. Varför inte då. Jo man förskjuter höjden på hela parabeln då och det blir mer invecklat.

Nej, det gäller fortfarande. Det beskriver bredden på parabeln vid ett givet y värde. Så konstanten C beskriver vart den ska få bredd bx egentligen.

Grafen till y = ax²+bx+c kallas parabel.

För denna parabel gäller att

1. riktningen helt och hållet beror på vilket tecken a har: Positivt värde på a ger en "glad mun" (skål), negativt värde på a ger en "ledsen mun" (uppochnervänd skål).
2. "skålningen", dvs hur snabbt lutningen ändras när man rör sig bort från symmetrilinjen, helt och hållet beror på beloppet av konstanten a: Om |a| är stort så ändras lutningen snabbt och parabeln liknar då en djup och smal skål, om |a| är litet så ändras lutningen långsamt och parabeln liknar då en grund och bred skål.
3. den horisontella placeringen, dvs var symmetrilinjen befinner sig, helt och hålletnberor på värdet av b/a. Symmetrilinjen ligger vid x = -b/(2a).
4. den vertikala placeringen, dvs vilken y-koordinat som extrempunkten har, beror på både a, b och c.

Läs gärna detta avsnitt om du inte redan gjort det. Där står mycket matnyttigt kring andragradsfunktioner.

Dkcre skrev:

[...]

C)

$f\left(x\right)=-{\left(x\right)}^2+6x-9$

$f\left(x\right)= -{(x-3)}^2$

Så det är för att den har ett nollställe eftersom (x-3)(x-3)=0 endast har lösningen X=3. Och den skär vid Y = -9.

Ja, det stämmer.

Tack för hjälpen. Jag förstår inte riktigt det där med symmetrin just nu, får återgå till det sen. Det blir för invecklat.

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = a{x}^2+bx+c \\ f\left(x\right) = a{(x+\frac{b}{2})}^{2 }+ c - 0.25b \\ f\left(x\right) = a(x^2+bx+0.25b) + c - 0.25b \end{gathered}$$

Vet inte vad det där blev riktigt men ^^' 

$X = - \frac{p}{2}\pm \sqrt{0.25p-q}$

Eller jaha, ja, du menar att $\frac{p}{2}$är basvärdet som man utgår ifrån när man letar på nollställen, i och med $\pm$tecknet. Därav är det symmetrilinjen.

Frågan är om man kan se det i abc formeln också?

$$\begin{gathered} a{x}^{2 }+bx+c = 0 \\ a{x}^{2 }+ bx = -c \\ a{(x-\frac{b}{2})}^2 = -C-\frac{b}{2} \\ x = \frac{\sqrt{-C-\frac{b}{2}}}{a}+\frac{b}{2} \end{gathered}$$

Grejade det inte, det är så enormt svårt.

Dkcre skrev:

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = a{x}^2+bx+c \\ f\left(x\right) = a{(x+\frac{b}{2})}^{2 }+ c - 0.25b \\ f\left(x\right) = a(x^2+bx+0.25b) + c - 0.25b \end{gathered}$$

Vet inte vad det där blev riktigt men ^^' 

Nej, det stämmer inte. Pröva att multiplicera in konstanten a i parentesen så ser du att du inte får tillbaka ursprungsuttrycket för f(x).

Om du vill skriva uttrycket på kvadratisk form med hjälp av kvadratkomplettering så kan du göra så här:

$f(x) = ax^2+bx+c$

Bryt ut a:

$f(x) = a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$

Kvadratkomplettera uttrycket innanför parenteserna:

$f(x) = a((x+(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}-(\frac{b}{2a})^2)$

 

$X = - \frac{p}{2}\pm \sqrt{0.25p-q}$

Eller jaha, ja, du menar att $\frac{p}{2}$är basvärdet som man utgår ifrån när man letar på nollställen, i och med $\pm$tecknet.

Bra! Nollställena (om de är reella) ligger alltså symmetriskt placerade runt x = -p/2 (inte x = p/2 som du råkade skriva)

Jag är med på det, men kan inte se det vid kvadratkompletteringen riktigt än.

Det är detta man kan se visuellt med "completing the square"? Att det endast blir en liten kvadrat kvar om man delar b i 2.

.

Dkcre skrev:

Jag är med på det, men kan inte se det vid kvadratkompletteringen riktigt än.

OK, det är ingen fara, du behöver inte använda kvadratkomplettering för att hitta symmetrilinjen för en andragradsfunktion. Det går utmärkt att använda någon av följande metoder:

1. f(x) = ax²+bx+c har symmetrilinjen x = -b/(2a)
2. f(x) = x²+px+q gar stmmetrilinjen x = -p/2
3. Om f(x) har två reella nollställen så ligger symmetrilinjen mitt emellan dessa.
4. Om f(x) endast har ett reellt nollställe så ligger symmetrilinjen där.
5. Om f(x) har sitt största eller minsta värde vid x = x₀ så ligger symmetrilinjen där.

Det är detta man kan se visuellt med "completing the square"? Att det endast blir en liten kvadrat kvar om man delar b i 2.

Jag är osäker på vad du menar här.

Tack så mycket.

På engelska kallar de väl kvadratkomplettering för "completing the square", och då kan man använda sig av geometri för att kunna tolka det bättre vad man faktiskt gör för någonting. Ungefär som den här: