Ge exempel på andragradsfunktion f(x)

Solklart och solklart, om man kan det ja.

ex. a Varför har x^2+3x+1 en minimipunkt? Om jag inte känner till det generella fallet för när en andragradsfunktion har maximi- eller minimipunkt så skulle jag inte kunna se att det är solklart.

Det finns många sätt du kan ha kommit fram till att denna funktion fungerar.

Här kan du hänvisa antingen till den generella regeln för koefficienten framför x^2 eller beskriva hur andraderivatan ser ut, beroende på hur du tänkt

Du ska helt enkelt beskriva processen du gjorde för att hitta en funktion som uppfyllde villkoret och hur man enklast kan kontrollera detta utifrån funktionen du skrivit.

På b exempelvis gissar jag att du valt funktionen genom att se att x=-4 och x=1 ska ge nollställen och sedan

ställt upp f(x)=(x+4)(x-1) som faktorer och sedan utvecklat men det är i så fall det du ska motivera...

Eller om du hellre vill göra det baklänges så skriv om funktionen på faktorform så ser man att x=-4 och x=1 är nollställen och då måste punkterna (-4,0= och (1,0)ligga på kurvan

Jonto skrev:

På b exempelvis gissar jag att du valt funktionen genom att se att x=-4 och x=1 ska ge nollställen och sedan

ställt upp f(x)=(x+4)(x-1) som faktorer och sedan utvecklat men det är i så fall det du ska motivera...

Eller om du hellre vill göra det baklänges så skriv om funktionen på faktorform så ser man att x=-4 och x=1 är nollställen och då måste punkterna (-4,0= och (1,0)ligga på kurvan

 stämmer det om jag skriver såhär?

a) Funktionens minsta värde (där kurvan slutar går neråt och börjar gå uppåt) i ett intervall kallas för en minimipunkt. I funktionen f(x) = x^2+3x+1 så är minimipunkten
x = -1,25.

b) I funktionen f(x) = x^2+3x-4 skär kurvan x-axeln i punkterna x = -4 och x = 1. De här värdena är funktionens nollställen. I en andragradsekvation ska man kunna skriva en ekvation där f(x) (andragradsfunktion) = 0. Jag gjorde så att jag ritade upp grafen i ett koordinatsystem, och letade rätt på de x-värden som gör att f(x) = 0.

c) Ett symmetrilinje ligger i mitten av nollställena. Linjen (som egentligen inte finns ritad på grafen) är alltid vertikal och parallell med y-axeln, och gör att andragradsfunktionen är symmetrisk. I grafen f(x) = x^2+(-2)+(-1) ser vi att symmetrilinjen ligger på x = 1 eftersom de två nollställena x = -0,414 och x = 2,414 har samma avstånd till symmetrilinjen.

d) Att en funktion som ej skär i x-axeln betyder att minimipunkten ligger ovanför den horisontella linjen (x-axeln). Funktionen f(x) = x^2+(-3x)+4 skär inte i x-axeln eftersom minimipunkten ligger på y = 1,75.

På a)Nej, Hur visar du att det är en minimipunkt? Du säger bara att det är det utan motivering. De enda du gör är att du förklarar vad en minimipunkt är. Hur vet jag att det finns en minimipunkt till denna funktion?

Man kan se på din funktion utan att räkna ut minimipunkten att den har en minimipunkt men hur?. Vilken punkt som är minimipunkten är ej intressant.

På b) Nja, jag förstår inte vad du menar. Du ritar upp grafen i ett koordinatsystem och kan se att den har dessa nollställen. Men hur valde du funktionen från första början och kom på att den skulle se ut på det viset? Nu låter det mest som du har gissat och ritat olika grafer och sen lyckades rita rätt. Du är inne på något när du skriver f(x) andragradsfunktion=0 men du måste förklara varför den ekvationen har dessa nollställen.

c) Okej förklaring

d) Okej förklaring. Men hur kan man veta att x^2-3x+4 har minimipunkten y=1,75 ?

a) förstår inte riktigt vad du menar med att jag ska visa att det är en minimipunkt? är det för att funktionen är positiv som man vet att den har en minimipunkt?

b) Genom att lösa funktionen algebraisk får vi fram nollställena:

x^2+3x-4 = 0 

x = 1, x = -4

Kan jag skriva detta?

d) här kommer vi ju tillbaka till a). 

a) Ja typ. Det finns en regel som säger att om koefficienten/tecknet framför $x^2$-termen är positiv så har den en minimipunkt och om  koefficienten/tecknet framför $x^2$ termen är negativ så har den maximipunkt. Minnesregel: "positiv x^2 term= glad mun=minimipunkt och negativ x^2 term=sur mun=maximipunkt"

ex. $x^2+4x+3$ har minimi, $4x^2-x+3$ har också minimi medan $-x^2+6x-4$ har maximi

som då alltså går att se direkt på funktionens utseende.

Man kan också studera andraderivatan och se att om den  är positiv så har funktionen en minimipunkt

se mer här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/andraderivatan

I ditt fall $$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2-3x+4 \\ f´\left(x\right)=2x-3 \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2 \end{gathered}$$

Alltså är andraderivatan positiv. Detta hör såklart ihop med att man kan se det på x^2-termens tecken

b) Ja det tycker jag då har du visat att den har de nollställena, det borde räcka.

Man skulle också kunna faktorisera den till $f\left(x\right)=(x^2-3x+4)=(x+4)(x-3)$

och sen säga att en andragradsfunktion alltid kan skrivas på följande sätt: $$\begin{gathered} f\left(x\right)=(x-n_1)(x-n_2) \\ där n_{1}och n_2 är funktionens nollställen \\ och i ditt fall kan man se \\ f\left(x\right)=(x-(-4\left)\right)(x-3) \end{gathered}$$

På d bör du kanske förklara hur du kommer fram till minimipunkten. Kanske genom att sätta derivatan till 0? eller rita grafen? När du väl beräknat minipunkten till 1,75 så kan man säga att den ligger över y-axeln och att samtliga punkter då måste ligga under och att den inte skär x-axeln. Så länge du kan vis att minipunkten är y=1,75 så fungerar ditt resonemang perfekt.

Derivator har man inte hört talas om i Ma2 - man börjar derivera i Ma3.

Smaragdalena skrev:

Derivator har man inte hört talas om i Ma2 - man börjar derivera i Ma3.

 Aha, det är sant, missade detta i rubriken . Tack för upplysningen. Då får man nog förvänta sig något andra motiveringar.

Regeln/minnesregeln för minimipunkt eller macimipunkt verkar dock finnas redan i Matte 2. Strunt i det där med andraderivata så länge :P

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer

På d) blir det i så fall tillräckligt om du kan på något sätt visa att minimipunkten är y=1,75 och då helt klarr ligger över y-axeln  x-axeln

Jonto skrev:

Regeln/minnesregeln för minimipunkt eller macimipunkt verkar dock finnas redan i Matte 2. Strunt i det där med andraderivata så länge :P

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer

På d) blir det i så fall tillräckligt om du kan på något sätt visa att minimipunkten är y=1,75 och då helt klarr ligger över y-axeln

 d) hur menar du med att den ligger över y-axeln? är det inte x-axeln du menar, eftersom minimipunkten inte ligger under den horisontella linjen?

Naturligtvis mitt fel, x-axeln ska det vara

Jag tror att Jonto har skrivit fel och menar x-axeln. Det är lätt gjort och svårt att upptäcka, eftersom man "ser" det man vet att man menade och inte det som man verkligen har skrivit.

Smaragdalena skrev:

Jag tror att Jonto har skrivit fel och menar x-axeln. Det är lätt gjort och svårt att upptäcka, eftersom man "ser" det man vet att man menade och inte det som man verkligen har skrivit.

 Precis och tack för förståelsen XD. Redigerade inlägget för att undvika att framtida läsare snurrar till det. 

Tack Jonto för att du redigerade ditt inlägg på ett så tydligt sätt, så att det både framgår vad som stod från början och vad det var meningen att det skulle vara! /moderator