ge en parametrisering (envariabelanalys)

Genomlöps hela cirkeln om $t$ går från 0 till 1? Vilken period har $\cos t$ respektive $\sin t$?

tomast80 skrev:

Genomlöps hela cirkeln om $t$ går från 0 till 1? Vilken period har $\cos t$ respektive $\sin t$?

vad betyder genomlöp hela cirkeln från 0 till 1? vad är det jag gör när jag gör det där? är det att rita eller beräkna värden, eller tabell?

dom har perioden 2pi

Du gör cirkeln till en funktion av t, typ. Så att när t ökar rör du dig framåt på din cirkel. r(t) är koordinaten du är på just nu. Så på första platsen sätter du in formeln för vad x är vid ett visst t, och på andra platsen vad y är då.

Att de vill ha mellan 0 och 1 betyder att du ska hinna runt hela på den tiden. Just nu rör du dig för långsamt framåt.

Micimacko skrev:

Du gör cirkeln till en funktion av t, typ. Så att när t ökar rör du dig framåt på din cirkel. r(t) är koordinaten du är på just nu. Så på första platsen sätter du in formeln för vad x är vid ett visst t, och på andra platsen vad y är då.

Att de vill ha mellan 0 och 1 betyder att du ska hinna runt hela på den tiden. Just nu rör du dig för långsamt framåt.

okej men är det rätt uppställt som jag skrivit fast jag ska ha andra värden på cos å sin?

Din cirkel börjar på rätt ställe, men den tar slut redan när du har kommit $\frac{1}{\pi}$ varv, d v s 1 radian eller knappt 60^o. Sätt in ett lämpligt värde på k i parametriseringen x(t)=2+3cos kt, y(t)=1+3sin kt så att kt går från 0 till $2\pi$ när t går från 0 till 1.

Smaragdalena skrev:

Din cirkel börjar på rätt ställe, men den tar slut redan när du har kommit $\frac{1}{\pi}$ varv, d v s 1 radian eller knappt 60^o. Sätt in ett lämpligt värde på k i parametriseringen x(t)=2+3cos kt, y(t)=1+3sin kt så att kt går från 0 till $2\pi$ när t går från 0 till 1.

det känns som att jag missar något gällande parametriseringar. hur kan jag se att den tar slut i 1/pi ?

För du vet att t går från 0 till 1 så det är bara stoppa in ändpunkterna så ser du var din parametrisering börjar och slutar.

Micimacko skrev:

För du vet att t går från 0 till 1 så det är bara stoppa in ändpunkterna så ser du var din parametrisering börjar och slutar.

okej jag tror jag börjar förstå. Men vad är det för ekvation jag ska lösa, är det denna

2+3cos kt = 2pi

1+3sin kt = 2pi

eller ska jag sätta in 0 < t < 2pi som ändpunkter och se vad jag behöver få?

EDIT: ska ändpunkterna ge mig samma punkt?

EDIT: dvs:

2+2cos(k*0) = 5 och 1+3sin(k*0) = 1

samt

2+2cos(k*1) = 5 och 1+3sin(k*1) = 1

eller?

Ja de ska ge samma punkt. Om t skulle gå mellan 0 och 2pi skulle du vara klar, så lura funktionen att t gör det.

Micimacko skrev:

Ja de ska ge samma punkt. Om t skulle gå mellan 0 och 2pi skulle du vara klar, så lura funktionen att t gör det.

okej jag har löst ekvationssystemet jag skrev i inlägget innan och fick k = 2pi

dvs min parametrisering blir 

$$\begin{gathered} x=2+3\cos \left(2\mathrm{\pi t}\right) \\ \mathrm{y}=1+3\sin \left(2\mathrm{\pi t}\right) \end{gathered}$$

sätter man in ändpunkterna för t så får man punkten (5,1) båda gångerna.

Är det rätt eller? det borde i så fall finnas oändligt med lösningar om jag sätter tex 2pin där n är ett reellt tal?

 Det är rätt. Om du tar tex 4pi så kommer du gå 2 varv runt, så det är ingen lösning till den här uppgiften.

Micimacko skrev:

 Det är rätt. Om du tar tex 4pi så kommer du gå 2 varv runt, så det är ingen lösning till den här uppgiften.

okej tack snälla jag fattar!

nyfiken fundering: men även om den går två varv så är det väl fortfarande samma cirkel?

Jo det är samma cirkel men funktionen blir inte inverterbar, och om du intgrerar den får du dubbla värdet osv. Det finns ingen praktisk användning av en dubbelparametrisering när man tänkt sig en vanlig att använda till något.

Micimacko skrev:

Jo det är samma cirkel men funktionen blir inte inverterbar, och om du intgrerar den får du dubbla värdet osv. Det finns ingen praktisk användning av en dubbelparametrisering när man tänkt sig en vanlig att använda till något.

okej tack för hjälpen!