Gausseliminering

Hej!

Jag har lite problem med en uppgift där jag bör använda mig av gausseliminering.

Uppgiften lyder enligt följande: Bestäm för alla värden på parametern a, antalet lösningar till följande ekvationssystem,

$\{\begin{cases} (a + 1) x + a y + z = - 2 a \\ 3 x + (a - 5) y - 4 z = 1 - x + 2 y + 2 z = 0 \end{cases}$

Då jag skriver om detta till en matris för att genomföra gausseliminering får jag:

$[\begin{matrix} a + 1 & a & 1 & - 2 a \\ 3 & a - 5 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 2 & 0 \end{matrix}]$

Jag har försökt lösa systemet med gausseliminering, men jag kör fast om och om igen. Problemet ligger i att jag inte är van med att ha med parametern a. Skulle någon vilja hjälpa mig med att genomföra gausseliminering samt ge mig lite hjälp om hur jag går vidare?

Vänligen,

Det tycks bli enklare om man börjar med att byta kolumn 1 med kolumn 3, men då använder man kanske inte Gauss-eliminering.

Dividera då, vid lämpligt tillfälle under elimineringen, lämplig rad med "a+1"

Tack för hjälpen Affe. Dock hjälpte det mig föga. Jag har ännu inte klarar av att genomföra gausselimineringen. Det slutar alltid med att jag får allt för invecklade uttryck med kvoter och faktorer av a. Skulle du kunna visa lite mer hur jag ska gå till väga för?

Ska man börja så här?

$|\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & 0 \\ 3 & a - 5 & 4 & 1 \\ a + 1 & a & 1 & - 2 a \end{matrix}|$

$|\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & a + 1 & 10 & 1 \\ \frac{a + 1}{a + 1} & \frac{a}{a + 1} & \frac{1}{a + 1} & \frac{- 2 a}{a + 1} \end{matrix}|$

$|\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{10}{a + 1} & \frac{1}{a + 1} \\ 1 & \frac{a}{a + 1} & \frac{1}{a + 1} & \frac{- 2 a}{a + 1} \end{matrix}|$

Nu eliminerar du vänstra hörnet i matrisen med rad 3 minus rad 1 -:)

ja, så har jag också börjat. Sedan har jag gått vidare på olika sätt, men oavsett hur jag har gjort har det trasslat i sig rejält efter ett tag. Jag har testat allt jag kan komma på i 1,5 dagar, så jag har verkligen ingen aning hur jag ska göra för att lösa uppgiften.

Om du visar hur du har försökt, kan vi fortsätta därifrån. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem.

Clarence skrev :
ja, så har jag också börjat. Sedan har jag gått vidare på olika sätt, men oavsett hur jag har gjort har det trasslat i sig rejält efter ett tag. Jag har testat allt jag kan komma på i 1,5 dagar, så jag har verkligen ingen aning hur jag ska göra för att lösa uppgiften.

Nu eliminerar du vänstra hörnet i matrisen med rad 3 minus rad 1 -:)
Gör som smaragdalena skriver och visa hur du försöker.

Hej Clarence,

Det första du bör göra är att undersöka determinanten för det kvadratiska systemet. Ett sätt att beräkna den är att använda Sarrus regel.

Ett inhomogent kvadratiskt ekvationssystem med nollskild determinant har en entydig lösning. För två värden på a är determinanten noll. Då saknar det inhomogena systemet lösningar eller också har det oändligt många lösningar. Om du vill kan du Gaussa dessa fall separat för undersöka antal lösningar. På så sätt slipper du räkna "allmänt" med a (även om det också är en bra övning!).

I ekvationssystemet ingår termen -4z i ekvation två. När du sätter upp systemet har du plötsligt +4z. Bestäm dig för vilket som är den egentliga uppgiften. Själv väljer jag -4 och omordnar raderna. Sedan väljer jag att som första steg ta 3 av rad 1 till rad 2 samt (a+1) av rad 1 till rad 3

Nu är raderna i första kolonnen 0 under pivotelementet och vi är på god väg mot en trappstegsmatris. Vi kan fortsätta med att lägga $-\frac{3a+2}{a+1}$ från rad 2 till rad 3 vilket ger oss en trappstegsmatris och låter oss lösa ut z, y, x. Men om vi vill kan vi driva elimineringen ytterligare några steg och erhålla

Hej igen, två av affes meddelanden var inte synliga då jag skrev mitt meddelande. Hade jag sett dem har jag inte svarat som jag gjorde.

Jag förstår vad du menar smaragdalena, jag ska försöka tydligare hur jag har försökt.

Affe: Jag kommit ungefär lika långt som du har visat innan, men tycker att det väldigt väldigt rörigt då jag går vidare. Om jag som du säger tar rad 3 - rad 1 får jag:

$[\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{10}{a + 1} & \frac{1}{a + 1} \\ 0 & \frac{a}{a + 1} + 2 & \frac{1}{a + 1} + 2 & \frac{- 2 a}{a + 1} \end{matrix}]$ Stämmer detta?

Flera gånger har jag kommit till den här typen av situationer, men vet sedan inte hur jag ska göra eftersom uträkningarna alltid blir så krångliga.

En tanke är att ta Rad 2 * $\frac{a}{a + 1} + 2$ . För att sedan kunna ta Rad 3 minus denna nya rad.

Jag får då: $[\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & \frac{a}{a + 1} + 2 & \frac{10 (\frac{a}{a + 1} + 2)}{a + 1} & \frac{3 a + 2}{(a + 1)^{2}} \\ 0 & \frac{a}{a + 1} + 2 & \frac{1}{a + 1} + 2 & \frac{- 2 a}{a + 1} \end{matrix}]$

Men detta kan ju inte vara rätt(?) Är alldeles för rörigt redan..

Nästa försök är att ta rad 3 multiplicerat med (a+1).

Jag får då, $[\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{10}{a + 1} & \frac{1}{a + 1} \\ 0 & 3 a + 2 & 2 a + 3 & - 2 a \end{matrix}]$

,sedan tar jag rad 2 multiplicerat med 3a +2. Den nya raden blir, $(0, 3 a + 2, \frac{10 (3 a + 2)}{a + 1}, \frac{3 a + 2}{a + 1})$ . Jag tar nu rad 3 minus den här nya raden och får då.

$[\begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{10}{a + 1} & \frac{1}{a + 1} \\ 0 & 0 & \frac{2 a^{2} - 31 a - 23}{a + 1} & \frac{- 2 a^{2} - 5 a - 2}{a + 1} \end{matrix}]$

Sedan multiplicerar jag Rad 3 med a+1. (orkar inte skriva den nya matrisen, den ser ni nog hur ska se ut).

Är det här rätt eller har jag rört ihop det på något sätt?

Stort tack för hjälpen guggle, det är -4 som gäller. Förlåt för otydligheten.

Clarence skrev :
Stort tack för hjälpen guggle, det är -4 som gäller. Förlåt för otydligheten.

Ingen fara och glöm nu alltså inte de intressanta fallen inträffar när determinanten är 0, dvs $a=1$ eller $a=-\frac{1}{2}$ , så du inte stirrar dig blind på lösningen för nollskilda determinanter som vi tog fram.

Svara

Visa senaste svar