Gausselimination - varför?

thedifference skrev:

Innan jag kände till denna teknik gjorde jag som så att om jag hade tre ekvationer och tre okända (x, y, z) så använde jag den första ekvationen för att bestämma z i x och y, sen den andra för att bestämma y i x, sen den tredje för att bestämma x. Därefter bestämde jag y i den andra och z i den första.

Jag frestas gång på gång att använda denna metod istället för att leta efter sätt att transformera systemet så det blir en trappa med färre okända för varje steg. Det kan bli ett enormt klurande och ta lång tid.

I skrivandes stund sitter jag i en sådan situation och koefficienterna är små och snälla och min första metod skulle gå lätt att använda. Jag upprepar för mig själv att Gausselimination måste ha någon fördel och det är därför det är en bra metod. Jag vill gärna höra vad denna fördel är.

Det är lätt att bygga en algoritm för G.E.

Vad betyder det? :)

Att det finns ett systematiskt sätt att tillämpa Gausselimination, utan att kreativt leta efter sätt att successivt eliminera variabler? Att Gausselimination är jobbigt för en människa men lätt för en dator, så jag behöver inte bli bra på det? Att min första metod är svårare för en dator än Gausselimination?

Gausselimination är enklare eftersom det nästan inte kräver någon eftertanke.

Om du ska använda substitution blir det snart väldigt otympligt, det räcker med fyra eller fem variabler för att det ska börja krångla till sig.

Gausselimination hjälper dig att avgöra vilka variabler som är fria och vilka som är bundna. När du har ditt ekvationssystem på reducerad form kan du enkelt ta reda på om det har en entydig lösning, oändligt många lösningar eller helt saknar lösningar.

Du får också ut lösningsskaran på ett systematiskt vis, vilket gör det lättare att bestämma dess dimension och kanske bestämma en bas för den. Du behöver också förstå GE för att kunna ta till dig delar av teorin kring värderum, nollrum och andra koncept vars bevis utnyttjar grundläggande manipulation av kolonnbasen. LU-faktorisering, SVD och så vidare kräver att du förstår GE.

Ett tips är att du biter ihop och lär dig metoden, när du väl behärskar den kommer du tycka att den är oerhört mycket smidigare än substitution, till och med för 3x3 system :)

Har ni då något ofelbart recept för detta? Om vi tar mitt senaste problem.

$$\begin{gathered} x+y+z=1 \\ 3x+y+2z=4 \\ x+3y+2z=0 \end{gathered}$$

Det är ju lätt att få ner en ekvation till två variabler. T.ex. (b) - (a) för att bli av med y eller (b) - (c) för att bli av med z. Men, så står man där med den andra variabeln och det enda sättet att bli av med den är att blanda in nån ekvation som återinför variablen man blev av med i steg ett.

Då är alltså metoden inte att i steg ett eliminera en variabel, utan att hitta något sätt att transformera en ekvation så att man i steg två kan eliminera två variabler. Och det blir ju inte precis roligare att inse detta om systemet är 5x5 och man ska efter fyra steg eliminera fyra variabler, men efter tre, inga.

Sen i just det här fallet så är (b) + (c) = 4(a), vilket kanske har nån extra betydelse.

Substitution slutar bara i 0 = 0, så jag antar att systemet är någon version av olösbart, men hur ska man se det?

Nej, systemet är inte olösbart. (1,-1,1) är ju en lösning exempelvis.

Addera lämplig multipel av ekv 1 till ekv 2 och ekv 3, så att x-termen försvinner från ekv 2 och 3. Addera lämplig multipel av ekv 2 till ekv 1 och ekv 3 så att y-termen försvinner från ekv 1 och ekv 3 och så vidare... 

Man kan reducera systemet i tre enkla steg:

Sista raden innebär att vi har oändligt många lösningar. Vi har pivotelement i kolonn 1 och 2, alltså är x och y bundna variabler. Vi kan sätta den fria variabeln $z=t$ och får då lösningsmängden:

$\begin{bmatrix}x\\y \\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3/2\\-1/2 \\0 \end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}-1/2\\-1/2 \\1 \end{bmatrix}$

Alltså är alla punkter utmed linjen lösningar till ekvationssystemet. Eventuellt kan man hitta en enklare punkt samt skala om riktningsvektorn till $(-1,-1,2)$ eller $(1,1,-2)$