Gauss sats, området

Försök till svar.

Sats 1. Formuleringen med öppen mängd $\Omega$ i planet är  något rigorös. Ofta formuleras satsens antagande mindre 'stringent', t ex enligt nedan:

"Låt D vara ett slutet område med en styckvis kontinuerligt deriverbar enkel randkurva $\partial D$, positivt orienterad. Antag dessutom att vektorfältet $\mathbf{F}=(P,Q)$ är kontinuerligt deriverbart på D."

Du får alltså tänka dig att $\Omega$ ligger i xy-planet och att D är en delmängd av $\Omega$.

Formuleringen av Gauss' sats är "main-stream". Så ser det ut i de flesta läroböcker.

dr_lund skrev:

Försök till svar.

Sats 1. Formuleringen med öppen mängd $\Omega$ i planet är  något rigorös. Ofta formuleras satsens antagande mindre 'stringent', t ex enligt nedan:

"Låt D vara ett slutet område med en styckvis kontinuerligt deriverbar enkel randkurva $\partial D$, positivt orienterad. Antag dessutom att vektorfältet $\mathbf{F}=(P,Q)$ är kontinuerligt deriverbart på D."

Du får alltså tänka dig att $\Omega$ ligger i xy-planet och att D är en delmängd av $\Omega$.

Formuleringen av Gauss' sats är "main-stream". Så ser det ut i de flesta läroböcker.

hej igen :)

det blåmarkerade i uppg ovan. B frågan...Vad menar dom med "hur du har valt området" vadå väljer område? får man välja vilket område som helst? eller? (men enda kravet är att de måste vara öppeT? )

Får området innehålla punkten $(x,y)=(0,0)$, är alla nödvändiga och /eller  tillräckliga villkor för de satser du tänker använda uppfyllda även då?

Jroth skrev:

Får området innehålla punkten $(x,y)=(0,0)$, är alla nödvändiga och /eller  tillräckliga villkor för de satser du tänker använda uppfyllda även då?

Jaha... är det, det dom menar med det? jaa ja.. det tillhör väl satsen konitulerligt klass C^1 eller?

I exemplet är det uppenbart att de vill att du ska se att det finns en potentialfunktion

$U(x,y)=\frac{\sin(\pi x)}{x^2+y^2}+xy+Bx$ som uppfyller $F=\nabla U$

En naiv tillämpning ger direkt att $U(-3,0)-U(0,1)=-3B$

Men då har du inte förklarat vad som händer med singulariteten, hur du vet att det finns en potentialfunktion och i vilket område den gäller.

Gör därför en skiss av ellipsen, integrationsvägen samt markera området. I vilket område gäller din potentialfunktion, får du gå ett helt varv runt origo t.ex.?

Jämför med fältet $F=\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ som också kan ha en potentialfunktion i vissa delområden av planet, men som ger integralen $2\pi$ för varje sluten kurva runt origo.