13 svar
231 visningar
sannakarlsson1337 590
Postad: 29 dec 2020 16:31 Redigerad: 29 dec 2020 16:31

Gauss sats, jämföra formeln.

facit:

  • Men -pi/3 = 2pi/3 stämmer inte... varför hur, vad är det rätt?
  • När de beräknar Y2Y_2 då räknar dom ju  (är det radien) att det är [0,z][0, \sqrt{z}] men när det står att x2+y21x^2+y^2 \le 1? Det borde väl bli [0,1][0,1]
Moffen 1875
Postad: 30 dec 2020 11:17 Redigerad: 30 dec 2020 11:17

Hej!

  • Nej du har rätt, det stämmer att -π32π3\frac{-\pi}{3}\neq\frac{2\pi}{3}, men som tur är så är det inte relevant för den här uppgiften. Det du ska lägga märke till är att summan av flödet (ytintegralerna) är -π3+π=2π3\frac{-\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}, dvs. samma som beräkningen av trippelintegralen med hjälp av Gauss sats.
  • Vad menar du? I beräkningen av ytintegralen för ytan Y2Y_{2} så behöver du bara använda att du får dubbelintegralen med integrand 11 över en cirkel med radie 11. Du vet att AreaY2=Y2dA=π·12=π\displaystyle \text{Area}\left(Y_{2}\right)=\iint_{Y_{2}}dA=\pi\cdot 1^2=\pi.
sannakarlsson1337 590
Postad: 30 dec 2020 12:57
Moffen skrev:

Hej!

  • Nej du har rätt, det stämmer att -π32π3\frac{-\pi}{3}\neq\frac{2\pi}{3}, men som tur är så är det inte relevant för den här uppgiften. Det du ska lägga märke till är att summan av flödet (ytintegralerna) är -π3+π=2π3\frac{-\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}, dvs. samma som beräkningen av trippelintegralen med hjälp av Gauss sats.
  • Vad menar du? I beräkningen av ytintegralen för ytan Y2Y_{2} så behöver du bara använda att du får dubbelintegralen med integrand 11 över en cirkel med radie 11. Du vet att AreaY2=Y2dA=π·12=π\displaystyle \text{Area}\left(Y_{2}\right)=\iint_{Y_{2}}dA=\pi\cdot 1^2=\pi.

hej!

  • ok
  • men det står ju att z=1z=1 ,varför tar dom i integralens beräkning att det är [0,z][0, \sqrt{z}]?
Moffen 1875
Postad: 30 dec 2020 13:01

Pratar vi om samma problem längre? Allt jag kan se i beräkningen av Y2F·Nds\displaystyle\iint_{Y_{2}}\vec{F}\cdot\vec{N}ds är:

Vart kommer z\sqrt{z} in i bilden?

Hondel 1377
Postad: 30 dec 2020 14:57

Roten av z dyker upp när de använder Gauss sats. Man integrerar över volymen K som begränsas av Y1 och Y2. Den kropp är innanför Y1, och sedan kommer ett lock Y2. Om du tittar på beskrivningen av Y1 ser du att det står z=x^2+y^2 vilket översatt i cylindriska koordinater blir z=r^2. Om du då ska integrera över volymen som omsluts av Y1 och Y2 kommer då 0<=r<=sqrt(z). Så integrationsgränsen för r blir då 0 och sqrt(z)

sannakarlsson1337 590
Postad: 5 jan 2021 11:13 Redigerad: 5 jan 2021 11:58
Hondel skrev:

Roten av z dyker upp när de använder Gauss sats. Man integrerar över volymen K som begränsas av Y1 och Y2. Den kropp är innanför Y1, och sedan kommer ett lock Y2. Om du tittar på beskrivningen av Y1 ser du att det står z=x^2+y^2 vilket översatt i cylindriska koordinater blir z=r^2. Om du då ska integrera över volymen som omsluts av Y1 och Y2 kommer då 0<=r<=sqrt(z). Så integrationsgränsen för r blir då 0 och sqrt(z)

okej tack

men när de beräknar ut integralen dKF·NdS\iint_{dK} F \cdot N dS så skriver dom i facit att de paramatiserar Y1Y_1 som (x,y,z=x2+y2)(x,y,z=x^2+y^2) (antar att de låter x,yx,y variera fritt här?  men hur har dom fått ut normalvektorn N=(2x,2y,-1)N=(2x,2y,-1). ? 

Jag känner till r'x×r'yr'_x \times r'_y som i Stokes sats, är det, det dom använder här också då? svar, ja. 

Varför kan man inte bra ta en norma a la N=(0,0,-1)N=(0,0,-1) eller N=(0,0,1)N=(0,0,1) ?  Som disskuteras i min andra tråd: HÄR

i det här fallet skulle vi ha en positiv normal, eftersom vi har ett lock?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 5 jan 2021 13:20
sannakarlsson1337 skrev:
...

men när de beräknar ut integralen dKF·NdS\iint_{dK} F \cdot N dS så skriver dom i facit att de paramatiserar Y1Y_1 som (x,y,z=x2+y2)(x,y,z=x^2+y^2) (antar att de låter x,yx,y variera fritt här?  men hur har dom fått ut normalvektorn N=(2x,2y,-1)N=(2x,2y,-1). ? 

(x'(z),y'(z),-1) eftersom normalvektorn skall vara riktad neråt

sannakarlsson1337 590
Postad: 5 jan 2021 13:31
Smaragdalena skrev:
sannakarlsson1337 skrev:
...

men när de beräknar ut integralen dKF·NdS\iint_{dK} F \cdot N dS så skriver dom i facit att de paramatiserar Y1Y_1 som (x,y,z=x2+y2)(x,y,z=x^2+y^2) (antar att de låter x,yx,y variera fritt här?  men hur har dom fått ut normalvektorn N=(2x,2y,-1)N=(2x,2y,-1). ? 

(x'(z),y'(z),-1) eftersom normalvektorn skall vara riktad neråt

Men det är ju ett lock? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 5 jan 2021 15:06

Jag blandade nog ihop några av dina trådar.

Moffen 1875
Postad: 5 jan 2021 15:46 Redigerad: 5 jan 2021 15:50

Hej!

men hur har dom fått ut normalvektorn N=2x,2y,-1N=\left(2x,2y,-1\right). ?

Inte allt för ingående eller med alla detaljer, men du kan tänka på följande vis:

Låt fx,yf\left(x,y\right) vara en lämplig funktion definierad på ett lämpligt område Ω2\Omega\subset\mathbb{R}^{2}.

Grafen till denna funktion ges då av mängden punkter x,y,z\left(x,y,z\right) sådana att z=fx,yz=f\left(x,y\right) inom det givna området. Givet σx,y,z=x,y,fx,y\sigma\left(x,y,z\right)=\left(x,y,f\left(x,y\right)\right), så får vi en yta SS, σ:ΩS\sigma: \Omega\to S (grafen till funktionen ff).

I varje punkt kan vi lokalt definiera ett tangentplan. Vi får lätt en bas för detta tangentplan TpST_{p}S som TpS=span{σx,σy}T_{p}S=\text{span}\{\sigma_{x},\sigma_{y}\}. En normal till tangentplanet i en punkt ger då även en normal till ytan i samma punkt.

Eftersom vi har en bas för tangentplanet så kan vi hitta en normal genom att kryssa våra basvektorer, eller hur?

Vi får då att en normal till ytan i en punkt kan beräknas som σx×σy=...=fx,fy,-1\sigma_{x}\times \sigma_{y}=...=\left(f_{x},f_{y},-1\right).

Så med ditt z=x2+y2z=x^2+y^2 har vi fx,y=x2+y2f\left(x,y\right)=x^2+y^2, vilket ger fx=2xf_{x}=2x och  fy=2yf_{y}=2y.

sannakarlsson1337 590
Postad: 5 jan 2021 17:40
Moffen skrev:

Hej!

men hur har dom fått ut normalvektorn N=2x,2y,-1N=\left(2x,2y,-1\right). ?

Inte allt för ingående eller med alla detaljer, men du kan tänka på följande vis:

Låt fx,yf\left(x,y\right) vara en lämplig funktion definierad på ett lämpligt område Ω2\Omega\subset\mathbb{R}^{2}.

Grafen till denna funktion ges då av mängden punkter x,y,z\left(x,y,z\right) sådana att z=fx,yz=f\left(x,y\right) inom det givna området. Givet σx,y,z=x,y,fx,y\sigma\left(x,y,z\right)=\left(x,y,f\left(x,y\right)\right), så får vi en yta SS, σ:ΩS\sigma: \Omega\to S (grafen till funktionen ff).

I varje punkt kan vi lokalt definiera ett tangentplan. Vi får lätt en bas för detta tangentplan TpST_{p}S som TpS=span{σx,σy}T_{p}S=\text{span}\{\sigma_{x},\sigma_{y}\}. En normal till tangentplanet i en punkt ger då även en normal till ytan i samma punkt.

Eftersom vi har en bas för tangentplanet så kan vi hitta en normal genom att kryssa våra basvektorer, eller hur?

Vi får då att en normal till ytan i en punkt kan beräknas som σx×σy=...=fx,fy,-1\sigma_{x}\times \sigma_{y}=...=\left(f_{x},f_{y},-1\right).

Så med ditt z=x2+y2z=x^2+y^2 har vi fx,y=x2+y2f\left(x,y\right)=x^2+y^2, vilket ger fx=2xf_{x}=2x och  fy=2yf_{y}=2y.

Kryssprodukten är jag med på, men är inte med på just minus ettan där. 

Moffen 1875
Postad: 5 jan 2021 20:56

Kryssprodukten är jag med på, men är inte med på just minus ettan där. 

Det går inte ihop, minus ettan kommer från kryssprodukten.

Har du beräknat den?

Vad är σx\sigma_{x}?

Vad är σy\sigma_{y}?

Vad är σx×σy\sigma_{x}\times\sigma_{y}?

sannakarlsson1337 590
Postad: 6 jan 2021 10:44
Moffen skrev:

Kryssprodukten är jag med på, men är inte med på just minus ettan där. 

Det går inte ihop, minus ettan kommer från kryssprodukten.

Har du beräknat den?

Vad är σx\sigma_{x}?

Vad är σy\sigma_{y}?

Vad är σx×σy\sigma_{x}\times\sigma_{y}?

yes, det gjorde jag. men i tidigare uppgifter så "har dom inte" räknat ut kryssprodukten, utan bara utgått från att

  • är det ett lock, så är N=+(0,0,1)
  • är det ett botten, så är det N=-(0,0,1)

så liksom, varför beräkna kryssprodukten i det här fallet?  kolla den här uppg: 

där tar dom ingen kryssprodukt ? =)

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 jan 2021 11:22

Varför skulle de göra det, när man kan se det bara man ritar upp det? Det är ett lock som är ett plant område (x och y kan vara olika, z är konstant) och eftersom det är ett lock är riktningen bortåt samma sak som riktningen uppåt. Det är en botten som är ett plant område (x och y kan vara olika, z är konstant) och eftersom det är en botten så är riktningen bortåt samma sak som riktningen neråt. 

Svara
Close