Gauss sats

Kämpar själv med den där satsen, men så här tror jag att det blir:

flödet över ytan = trippelintegralen av $\frac{xz{y}^2}{\delta x}+\frac{x^{2}y z}{\delta y}+\frac{x^2+y^2}{\delta z}$ över halvsfären  + integralen av funktionsvärdet i bottenskivan $x^2+y^2\le 1$ (då z=0).

Då får du en sluten volym (likt Greens formel och slutet området) och allt det där ska stämma.

Hoppas att det är till hjälp.

Bra beskrivet men det du ska integrera över enhetscirkeln i xy-planet är fältets z-komponent.

Okej, så har jag alltså trippelintegralen $\iint \int \left(\frac{xz{y}^2}{\delta x}+\frac{x^{2}yz}{\delta y}+\frac{x^2+y^2}{\delta z}\right)$

När det står "dx" i nämnaren ska det betyda d/dx, alltså derivata med avseende på x.

Jag har fått det till F=(P,Q,R)=($xz{y}^2,x^{2}yz,x^2+y^2$)

divF=$\left(\begin{array}{ccc}\frac{dP}{dx}& \frac{dQ}{dy}& \frac{dR}{dz}\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{ccc}\frac{xz{y}^2}{dx}& \frac{x^{2}yz}{dy}& \frac{x^2+y^2}{dz}\end{array}\right)$= $z{y}^2+x^{2}z+0=z{y}^2+x^{2}z$

Nästa steg blir att sätta in divF i trippelintegralen.

${\iint }_{K}F\times nds=\iint {\int }_{K}divFdxdydz$ som i mitt fall blir $\iint {\int }_K(z{y}^2+x^{2}z)dxdydz$vars primitiva funktion med avseende på z blir ${\iint }_D\left|\frac{1}{2}{z}^2{y}^2+x^2\frac{1}{2}{z}^2\right|$

men sen har jag lite svårt att ta mig vidare, jag vet att jag ska sätta in gränserna $x^2+y^2+z^2=1,z\ge 0$ på något sätt. Ska det blir z=-x-y+1

Lös ut z ur ekvationen!

så ska det bli ${\iint }_D{{\left|\frac{1}{2}{z}^2{y}^2+x^2\frac{1}{2}{z}^2\right|}_0}^{1-\sqrt{x^2-y^2}}$

Jag tror det är rätt väg men jag vet inte hur man ska ta sig vidare härifrån, ska man bara sätta in $1-\sqrt{x^2-y^2}$ i z

Ja, men du har gjort flera fel när du löst ut z.

jag misstänkte det, men jag är inte säker på var det blir fel.

Jag började med att ta roten ur på båda leden och får x+y+z=1 och kan då få ut z=1-x-y

Nej, så funkar inte roten. Roten ur (9+16) är ju 5 men det är inte detsamma som (3+4), alltså där man tagit roten ur varje term.

jag har ju $x^2+y^2+z^2=1$ och flyttar sen över så jag får z ensamt i VL $z^2=1-x^2-y^2$

Henrik tipsar dig:

$\sqrt{x2-y2}$ är inte samma som x - y

Blir det tydligare om du skriver $\sqrt{(x2-y2)}$ ?

okej så då får vi $z^2=1-\sqrt{-x^2-y^2}$

Menar du att $\sqrt{(x2-y2)}$ är lika med $\sqrt{-x2-y2}$ ?

glömde parentesen, $z^2=1-\sqrt{(x^2-y^2)}$

Obervera att i detta fall är parenteserna endast en hjälp (jag använder ofta parenteser för att vara tydlig även om de inte behövs. De skadar inte och förändrar inte något när de inte behövs).
Roten ur har högre prioritet än +/-. Alltså måste uttrycket under rottecknet vara uträknat och klart innan man kan applicera roten ur. Vilket var det som Henrik tipsade dig om.

ja jag förstår, men nu måste jag väl dra roten ur så jag kan få z istället för z^2 i VL så att jag kan sätta in den i uppgiften.

Kan du svara Henrik?

jag såg inte vad han frågade?

Nu har jag ju $z^2=1-\sqrt{(x^2-y^2)}$ och jag ser ju i min dubbelintegral att båda z termerna är ju $z^2$ så jag kan väl då sätta in mitt värde på $z^2$ och få

$\left(\frac{(1-\sqrt{(x^2-y^2})\times y^2+x^2\times (1-\sqrt{(x^2-y^2)})}{2}\right)$ $\Rightarrow \left(\frac{y^2(1-\sqrt{(x^2-y^2)})+x^2(1-\sqrt{(x^2-y^2)})}{2}\right)$

Du har $z^2=1-x^2-y^2$ och vill veta vad z är. Det är lätt! Om du haft $z^2=9$ hur hade du då gjort för att få ut z?

om jag drar roten ur $z^2=1-x^2-y^2$ får jag ju z=1-x-y

men inom dubbelintegralen hade jag ju $\left|\frac{1}{2}{z}^2{y}^2+x^2\frac{1}{2}{z}^2\right|$ så då blir det väl $\frac{1}{2}(1-x^2-y^2)\times y^2+x^2\times \frac{1}{2}(1-x^2-y^2)$

$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{x}^2\frac{1}{2}{y}^2\right)\times y^2=\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{2}{x}^2{y}^2-\frac{1}{2}{y}^4$ och $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}{y}^2\right)\times x^2=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{y}^2{x}^2$

= $-\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{2}{y}^4-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}{x}^4$

Nej, så funkar inte roten. Roten ur (9+16) är ju 5 men det är inte detsamma som (3+4), alltså där man tagit roten ur varje term. Du drar roten ur varje term, det är fel!

men om jag hade haft $z^2=9$ och tar roten ur får jag $z=\pm 3$ 

Ja, men vad har det med saken att göra? Med ditt sätt att räkna skulle Pythagoras sats inte funka. Pythagoras sats funkar - slutsats, ditt sätt att räkna är fel.

ja det blir fel när jag ska få z ensamt med jag vet inte var det blir fel när jag försöker få z ensamt.

Om du haft $z^2=9$ är mycket riktigt $z=\pm 3$. Om du haft $z^2=9+16$ hade du inte fått $z=3+4$, eller hur?

nej då hade det ju blivit $z=\pm 5$ det är jag ju med på men av någon anledning får jag inte det att stämma i denna uppgift.

Om du drar roten ur z^2=1−x^2−y^2 får du alltså z= ...

då får jag det till z=$\pm \sqrt{-x^2-y^2}+1$

Nej. Försök igen! Du skall dra roten ur vardera sidan och placera $\pm$framför roten i HL.

ok så då har vi $\sqrt{z^2}=\pm \sqrt{-x^2-y^2+1^2}$

Ja, eller aningen snyggare $z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2}$.

Detta är ekvationen för kupolens tak. Golvet har ekvationen z=0. Nu kan du beräkna integralen i z-led.

okej så då har vi ${\iint }_D{{\left|\frac{1}{2}{z}^2{y}^2+x^2\frac{1}{2}{z}^2\right|}_0}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}$

Då kommer jag få $\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2-y^2}\times y^2+x^2\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2-y^2}$ 

med z=0 blir det ju bara noll när jag sedan sätter in den.

Tillslut fick jag ut $\Rightarrow \frac{y^2-2x^2{y}^2-y^4+x^2-x^4}{2}\Rightarrow \frac{-y^2-x^2-2x^2{y}^2}{2}=\frac{-3x^2{y}^2}{2}$

Du "förenklar" jättekonstigt. Vart tog y⁴ och x⁴ vägen? Hur kan du få -y²-x² till -x²y²? Addition och multiplikation är inte samma sak! Nu går vi tillbaka till vad integralen blev, alltså ((1-x²-y²)y²+(1-x²-y²)x²)/2. Ser du att det kan skrivas ((1-x²-y²)(x²+y²))/2. Detta ska du integrera över golvplattan som är enhetscirkeln i xy-planet. Ser du att om man sätter z=0 blir ekvationen x²+y²=1. Vet du att det betyder enhetscirkeln? När man ska integrera över enhetscirkeln brukar poära koordinater r,v vara bättre än x,y. Vet du vad som menas med r och v? Den där integranden du fick fram kan väldigt enkelt uttryckas med r. Försök!

jag är med på $\left(\right(1-x^2-y^2)y^2+(1-x^2-y^2\left)x^2\right)$ som kan förenklas till $\left(\right(1-x^2-y^2\left)\right(x^2+y^2)/2$

vi har ju z=$1+x^2+y^2$ så men z=0 borde inte första parentesen bli 0? i så fall får vi ju $(x^2+y^2)/2$ men jag vet inte var ettan kommer från.

Ja att det blir enhetscirkeln är jag med på.

Jo, på enhetscirkelns rand blir integranden noll men det är över hela enhetscirkelns yta vi ska integrera. Vet du vad r i polära koordinater betyder och hur r hänger ihop med x och y? (Pytagoras!)

Det jag vet är att r=$\sqrt{x^2+y^2}$ och att x=rcos$\theta$ y=rsin$\theta$

Bra, så vad blir (1-x^2-y^2)(x^2+y^2) uttryckt i r?

blir det inte z*r^2

Nej. Blir det lättare att se det om man skriver det som $(1-(x^2+y^2\left)\right) (x^2+y^2)$?

okej så

$z=\pm \sqrt{1-x^2-y^2}\Rightarrow z^2=1-x^2-y^2$

$r=\sqrt{x^2+y\sqrt{2}}\Rightarrow r^2=x^2+y^2$

då blir det väl $z^2{r}^2$

Nu har jag letat i den här tråden som har blivit riktigt rörig. (Jag är definintivt inte oskyldig - jag har byggt på med följdfrågor utan att kolla om de egentligen är relevanta!)

Du vet tydligen att $x^{2 }+ y^2 + z^2 = 1$ och att $x^2 + y^2 = r^2$ och du vill få fram z(r). Kan du göra den omskrivningen?

ok då får vi ju att $r^2+z^2=1$

Ja. Kan du lösa ut z(r) ur det sambandet?

jag är inte riktigt med på vad man ska göra, jag har $r^2+z^2=1$ 

ska jag derivera för att få r och z? i så fall får jag ju 2r+2z=0 och 2(r+z)

Nej, du skall bara lösa ut z ur uttrycket $r^{2 }+ z^2 = 1$. Det borde du ha lärt dig i Ma2.

då blir det väl bara $\sqrt{z^2}=\pm \sqrt{1-r^2}$ $\Rightarrow z=\pm \sqrt{1-r^2}$

Ja, fast eftersom det står i uppgiften att z är icke-negativt, är det ena en falsk rot. Och eftersom det skall vara en funktion, skall det bara finnas ETT z-värde för varje r-värde.

okej så vi har då z=$\sqrt{1-r^2}$ 

då är vi väl klara med förenklingen vad blir nästa steg då?

Henrik Eriksson skrev :

... det du ska integrera över enhetscirkeln i xy-planet är fältets z-komponent.

Du har just tagit fram fältets z-komponent.

Smaragdalena, rörigt var orde! Vi har faktiskt integrerat i z-led för ett tag sen, så det finns inget z kvar. Nu gäller det att integrera (1−(x^2+y^2)) (x^2+y^2) över enhetscirkeln.

så då blir det slutliga svaret på uppgiften att beräkna flödet:  z=$\sqrt{1-r^2}$

Vi har faktiskt integrerat i z-led för ett tag sen, så det finns inget z kvar. Nu gäller det att integrera (1−(x^2+y^2)) (x^2+y^2) över enhetscirkeln. Du ska gå över till polära nu. Vad blir det uttryckt i r?

Oj, förlåt! Repetition?! ;-) (jag är så gammal att mina smilies har näsa)

med polära koordinater får man

r=$\sqrt{x^2+y^2}$

och insatt i vårat uttryck$(1-(x^2+y^2\left)\right(x^2+y^2\left)\right)$ blir det väl $(1-r^2(r^2\left)\right)$ = $r^2-r^4$

Bra! Sen är det dx dy som övergår i r dr dv så resultatet blir $\int dv\int (r^3-r^5) dr$. Kan du komma på vad gränserna för r och för v ska vara?

Om man vill kan man gå över till sfäriska koordinater lite tidigare.

$\nabla \cdot\mathbf{F}=z(x^2+y^2)=r^3sin^2(\theta)cos(\theta)$

Eftersom $x^2+y^2=r^2sin^2(\theta)$

Integralen av $\nabla \cdot \mathbf{F}$ för volymen $E:\qquad 0<r<1,\quad0<\theta<\pi/2,\quad0<\varphi<2\pi$

$\iiint_Er^5sin^3(\theta)cos(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi=2\pi\frac{1}{6}\int_0^{\pi/2}sin^3(\theta)cos(\theta)\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{3}\int_0^1u^3du=\frac{\pi}{12}$

där vi använt $u=sin(\theta),\quad du=cos(\theta)\mathrm{d}\theta$

Sedan återstår att dra bort flödet ut genom "bottenplattan" för att hitta flödet upp genom halvsfären (håll ordning på ytelementets riktning)

Planpolära koordinater räcker dock bra.

Henrik Eriksson skrev :

Planpolära koordinater räcker dock bra.

Räcker och räcker... någonstans under den röriga veckan tycks ni iaf slarvat bort en faktor 1/2, förmodligen från integralen i zled (z^2/2)

Det hade ju aldrig kunnat hända i sfäriska koordinater! ;)

Det hade ju aldrig kunnat hända i sfäriska koordinater! ;)

Ha! Haha!

Henrik Eriksson skrev :

Bra! Sen är det dx dy som övergår i r dr dv så resultatet blir $\int dv\int (r^3-r^5) dr$. Kan du komma på vad gränserna för r och för v ska vara?

blir då gränserna  $0\le r\le 1$ och $0\le \theta \le 2\pi$

Halvan fanns med ett tag efter integrationen. Jag citerar: ((1−x2−y2)(x2+y2)/2. Men sen försvann den ett tag som straff för att vi inte använde sfäriska koordinater. Nu ser i alla fall integralen ut så här: $\frac{1}{2}\int dv\int (r^3-r^5) dr$

 .

okej men blir gränserna rätt?, hur ska man sedan gå vidare efter detta steg för att slutligen få svar på uppgiften.

Gränserna är rätt. Vad fick du integralen till? Det du har räknat ut då är utflödet ur halvklotet. Eftersom det är utflödet ur kupolen det frågas efter måste du till slut subtrahera utflödet ur bottenplattan. Det är samma som att addera inflödet genom bottenplattan och det är alltså flödet i z-riktningen du söker. Då spelar x-komponent och y-komponent ingen roll utan det är bara z-komponenten du ska integrera över bottenplattan.

jag fick det till $\frac{1}{2}{\int }_0^1{{\left[\frac{1}{4}{r}^4-\frac{1}{6}{r}^6\right]}_0}^{2\pi }$ efter att jag tog primitiven fick jag $\left(\frac{1}{4}2{\pi }^4-\frac{1}{6}2{\pi }^6\right)=\left(\frac{1}{2}{\pi }^4-\frac{1}{3}{\pi }^6\right)=\frac{{\pi }^4}{2}-\frac{{\pi }^6}{3}$ då får vi $\frac{1}{2}{\int }_0^1\left(\frac{{\pi }^4}{2}-\frac{{\pi }^6}{3}\right)$

Men du har blandat ihop gränserna för r och gränserna för v.

aha, så då får vi $\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }dv{\int }_0^1\left(r^3-r^5\right)dr$

$\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{{\left[\frac{1}{4}{r}^4-\frac{1}{6}{r}^6\right]}^1}_0=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$ och insättning i den andra enkelintegralen blir då $\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\frac{1}{12}dr=\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$ men sedan har vi ju 1/2 framför så tillslut blir det då $\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$

Rätt! Det är alltså utflödet genom kupolen + utflödet genom golvet. Flödet genom golvet är ganska lätt att beräkna. Vad är z-komponenten av vektorfältet? Den ska integreras över enhetscirkeln. (Görs enkelt med polära.)

okej bra då har vi kommit ett steg närmare.

Men z-komponenten av vektorfältet, när vi räknade ut fick vi ju först $z{y}^2+x^{2}z+0=z{y}^2+x^{2}z$  när vi tog z-derivatan fick vi ju noll.

Hej Idil M!

Din uppgift handlar om den övre delen ($M$) av enhetsklotet.

    $\displaystyle M = \{(x,y,z)\,:\, x^2+y^2+z^2\leq 1 \text{ och } z\geq 0\}\ .$

Randen ($\partial M$) till denna kropp består av två delar: den övre delen av enhetssfären ($K$) och bottenplattan ($B$),

   $\displaystyle K = \{(x,y,z)\,:\, x^2+y^2+z^2 = 1 \text{ och } z\geq 0\}$

och

    $\displaystyle B = \{(x,y,z)\,:\, x^2+y^2+z^2 = 1 \text{ och } z=0\}\ .$

Det gör att du kan skriva randen som en union av två mängder.

    $\displaystyle \partial M = K \cup B.$

Albiki

Hej!

Du vill beräkna flödet av vektorfältet $F$ genom ytan $K$.

    $\displaystyle \iint_{K} F \cdot \hat{n}\, dS\ ,$

där $\hat{n}$ betecknar en utåtriktad normalvektor till ytan $K$ och $dS$ betecknar ett differentialytelement på ytan.

Albiki

Hej!

Gauss sats säger att om man integrerar skalärfältet $\nabla \cdot F$ över kroppen $M$ så är det samma sak som att beräkna flödet av vektorfältet $F$ genom ytan $\partial M$.

    $\displaystyle \iiint_{M} (\nabla \cdot F)\,dxdydz = \iint_{\partial M} F\cdot \hat{n}\,dS\ .$

Albiki

Hej!

Eftersom det gäller att $\partial M = K \cup B$ så kan flödet genom ytan $\partial M$ skrivas som en summa av två flöden.

$\displaystyle \iint_{\partial M} F \cdot \hat{n}\,dS = \iint_{K}F \cdot \hat{n}\,dS + \iint_{B}F \cdot \hat{n}\,dS\ .$

Notera att vid flödet genom bottenytan ($B$) så är $\hat{n}$ en normalvektor som pekar ut från ytan, vilket i detta fall är en vektor som pekar nedåt längs z-axeln, $\hat{n} = (0,0,-1).$

Albiki

Hej!

Det sökta flödet genom ytan $K$ kan därför skrivas som

    $\displaystyle \iint_{K} F\cdot \hat{n}\,dS = \iiint_{M}(\nabla \cdot F)\,dxdydz - \iint_{B}F\cdot (0,0,-1)\,dS\ .$

Albiki

Hej!

Ditt vektorfält är $F(x,y,z) = (f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))$ där $f_{1}(x,y,z) = xy^2z$ och $f_{2}(x,y,z) = x^2yz$ och $f_{3}(x,y,z) = x^2+y^2.$ Dess divergens är lika med skalärfältet

    $\displaystyle (\nabla \cdot F)(x,y,z) = \frac{\partial f_{1}}{\partial x} + \frac{\partial f_{2}}{\partial y} + \frac{\partial f_{3}}{\partial z} = y^2z + x^2z + 0 = (x^2+y^2)z \ .$

Albiki

Hej!

Volymintegralen är därför lika med talet

    $\displaystyle \iiint_{M} (\nabla \cdot F)\,dxdydz = \iiint_{M} (x^2+y^2)z\,dxdydz\ .$

Eftersom integrationsområdet är en del av ett klot så är det lämpligt att använda sfäriska koordinater $(r,\phi,\theta)$ istället för de rektangulära koordinaterna $(x,y,z)\ .$ Sambandet mellan dessa koordinater är $x = r\sin\theta \cos\phi$ och $y = r\sin\theta\sin\phi$ och $z = r\cos \theta.$

Differentialvolymelementet $dxdydz$ är lika med $r^2\sin\theta\, dr d\theta d\phi\ .$

Integrationsområdet är lika med

    $\displaystyle M = \{(x,y,z)\,:\,x^2+y^2+z^2 \leq 1 \,\text{ och }\, z\geq 0\} = \{(r,\phi,\theta)\,:\,0\leq r \leq 1\ , 0 \leq \phi \leq 2\pi \,\text{ och }\,0\leq \theta \leq \pi/2\}\ .$

Albiki

Hej!

Uttryckt i sfäriska koordinater är volymintegralen lika med talet

    $\displaystyle \iiint_{M}(\nabla \cdot F)\,dxdydz = \int_{r=0}^{1}\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/2}r^5 \sin^3\theta \cos\theta \,dr d\phi d\theta \ .$

Detta kan du skriva som en produkt av tre stycken enkelintegraler.

    $\displaystyle \left\{\int_{r=0}^{1}r^5 \,dr\right\}\cdot\left\{\int_{\phi=0}^{2\pi}d\phi \right\}\cdot\left\{\int_{\theta=0}^{\pi/2}\sin^3\theta \cos\theta \,d\theta\right\} = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot \int_{\theta=0}^{\pi/2}\sin^3\theta \cos\theta \,d\theta\ .$

Albiki

Hej!

Eftersom du kan skriva differentialen $\cos\theta\,d\theta$ som $d(\sin\theta)$ så betyder det att $\theta$-integralen är lika med talet

    $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\,d(\sin\theta) = \left[\frac{\sin^4\theta}{4}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{4}\ .$

Volymintegralen är alltså lika med talet

    $\iiint_{M}(\nabla \cdot F)\,dxdydz = \frac{1}{6} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{12}\ .$

Albiki

Hej!

Det sökta flödet genom ytan $K$ är alltså lika med talet

    $\displaystyle \iint_{K}F\cdot \hat{n}\,dS = \frac{\pi}{12} - \iint_{B}F \cdot (0,0,-1)\,dS = \frac{\pi}{12} + \iint_{B}f_{3}(x,y,z)\,dS\ .$

Albiki

Hej!

Eftersom bottenytan ($B$) är enhetscirkeln i rummet $B = \{(x,y,z)\,:\,x^2+y^2 = 1\,\text{ och }\,z=0\}$ så är det lämpligt att använda cylinderkoordinater $(\rho,\alpha,z)$ för att beräkna flödet genom bottenytan. Uttryckt i dessa koordinater kan bottenytan skrivas

    $\displaystyle B' = \{(\rho,\alpha,z)\,:\,0\leq \rho \leq 1\ ,0\leq \alpha \leq 2\pi\, \text{ och }\,z=0\}\ .$

Differentialytelementet är $dS = \rho d\rho d\alpha$ och funktionen som ska integreras är $f_{3} (x,y,z) = x^2+y^2$ vilket i cylinderkoordinater är $g_{3}(\rho,\alpha,z) = \rho^2\ .$

    $\displaystyle \iint_{B'}g_{3}(\rho,\alpha,z)\,\rho d\rho d\alpha dz = \left\{\int_{0}^{1}\rho^3\,d\rho\right\}\cdot\left\{\int_{0}^{2\pi}\,d\alpha\right\} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}\ .$

Albiki

Hej!

Det sökta flödet genom den övre halvsfären ($K$) är lika med talet

$\displaystyle \iint_{K}F\cdot \hat{n}\,dS = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{12}\ .$

Jag hoppas att mina inlägg har varit till nytta för dig Idil M. Jag tänker mig att du förmodligen hellre vill fullfölja de pedagogiska diskussionerna som du har fört med Henrik och Smaragdalena. Mina inlägg riktar sig främst till andra läsare som är intresserade av att se hur en sådan uppgift kan lösas utan att behöva ta del av den långa diskussionen som ni fört.

Albiki

Även Idil bör gå igenom Albikis lösning när din egen äntligen är klar. Det är nära nu, men z-komponenten av vektorfältet, vad är den? Gå till baka till uppgiftsformuleringen så ser du vad vektorfältet är.

, okej, när vi räknade ut z ur divF fick vi ju df1/dz= 0 och df1/dx=$y^{2}z$ samt df2/dy=$x^{2}z$ så vi har $y^{2}z+x^{2}z+0$ är det nu det vi ska använda oss av?

z-komponenten av vektorfältet, vad är den? Gå till baka till uppgiftsformuleringen så ser du vad vektorfältet är.

vektorfältet är ju $\left(xz{y}^2,x^{2}yz,x^2+y^2\right)$ z-komponenterna vi har är ju då $xz{y}^2,x^{2}yz$

Det som står i parentesen är (x-komponent, y-komponent, z-komponent) av vektorfältet.

Vilken är z-komponenten av vektorfältet?

det är ju $x^2+y^2$

Ja - men det var inte det du svarade förut.

Vet duy vad det är du skall göra med z-komponenten av vektorfältet?

Henrik skrev det tidigare:

Flödet genom golvet är ganska lätt att beräkna. Vad är z-komponenten av vektorfältet? Den ska integreras över enhetscirkeln. (Görs enkelt med polära.)

jag vet att jag ska integrera z-komponenten över enhetscirkeln, ska jag sätta $\left[\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{2}{y}^3\right]$

Nej, du ska använda samma trick som nyss, alltså uttrycka allt i polära koordinater.

okej då med r=$\sqrt{x^2+y^2}$ får vi ju att vi ska integrera $r^2$ och får $\left[\frac{1}{3}{r}^3\right]$

Man skulle tro det men dx dy ska alltid bytas ut mot r dr dv så det blir r^3 du ska integrera från 0 till 1. Vinkeln v ska förstås gå från 0 till 2pi.

ok så blir det då ${\int }_0^1{r}^3=1och{\int }_0^{2\pi }{r}^3=2{\pi }^3$

$\int_0^{2\pi}dv\int_0^1 r^3\, dr$
Försök en gång till!