Gauss

Poängen med Gauss sats är att du kan beräkna en ytintegrals värde med hjälp av en volymintegral. Observera dock att ytan måste utgöra hela randen (d.v.s. kantytan) till kroppen man beräknar volymintegralen över. Du behöver därför lägga till en yta $Y_1$ för att 'sluta' ytan kring kroppen $K$. Du får alltså enligt Gauss sats:

$\displaystyle\iint_Y\mathbf{F}\cdot N\ dS+\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot N\ dS=\iiint_K\nabla\cdot\mathbf{F}\ dV$

Nu behöver du alltså först hitta på en yta $Y_1$, och därefter beräkna ytintegralen över $Y_1$ och volymintegralen över $K$ så kan du lösa ut för den sökta flödesintegralens värde.

AlvinB skrev:

Poängen med Gauss sats är att du kan beräkna en ytintegrals värde med hjälp av en volymintegral. Observera dock att ytan måste utgöra hela randen (d.v.s. kantytan) till kroppen man beräknar volymintegralen över. Du behöver därför lägga till en yta $Y_1$ för att 'sluta' ytan kring kroppen $K$. Du får alltså enligt Gauss sats:

$\displaystyle\iint_Y\mathbf{F}\cdot N\ dS+\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot N\ dS=\iiint_K\nabla\cdot\mathbf{F}\ dV$

Nu behöver du alltså först hitta på en yta $Y_1$, och därefter beräkna ytintegralen över $Y_1$ och volymintegralen över $K$ så kan du lösa ut för den sökta flödesintegralens värde.

Meeen.. Ja vet att man kan göra så, men jag tänker mer att det kan man göra om man tex har en kon? Och man lägger till ett lock på den tex, för att beräkna.. 

Men jag tolkar ju det som att vi har bara en helt fin cirkel, hmmmm..? :=)

Vi har ju vår yta definierad av $z=\cos(x^2+y^2)$, men om vi tittar under den ser vi att det är 'öppet' under den (perspektiv under $xy$-planet)!

Detta går inte för sig när vi skall tillämpa Gauss sats, utan vi måste lägga till ett 'lock' under den; det är detta jag menar med ytan $Y_1$.

AlvinB skrev:

Vi har ju vår yta definierad av $z=\cos(x^2+y^2)$, men om vi tittar under den ser vi att det är 'öppet' under den (perspektiv under $xy$-planet)!

Detta går inte för sig när vi skall tillämpa Gauss sats, utan vi måste lägga till ett 'lock' under den; det är detta jag menar med ytan $Y_1$.

jahaa... jag trodde det var en cirkel, och såldes ite behövde addera lock (botten)

Så då 

$Y_1 : x^2+y^2=z$ eller? eller hur ska jag kombinera lockets radie?

Det enklaste locket är ju bara en yta i $xy$-planet, att vi tar en cirkelskiva med radie $\frac{\pi}{2}$:

Försök nu att beräkna ytintegralen över $Y_1$ (normalen gör detta ganska enkelt!).

AlvinB skrev:

Det enklaste locket är ju bara en yta i $xy$-planet, att vi tar en cirkelskiva med radie $\frac{\pi}{2}$:

Försök nu att beräkna ytintegralen över $Y_1$ (normalen gör detta ganska enkelt!).

Blir jätteosäker när jag kommer till z.. ska man inte ens gå över till polära koordinater här?  vad har z för gränser?

Jag tror du vet ungefär vad du skall göra, men du slarvar när du skriver upp det. Till att börja med är ju $Y\cup Y_1=\partial K$, och inte $K$ ($Y$ och $Y_1$ är ju ytor, medans $K$ är en volym!).

Genom Gauss sats får du sedan relationen:

$\displaystyle\iint_Y\mathbf{F}\cdot N\ dS+\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot N\ dS=\iiint_K\text{div}\ \mathbf{F}\ dV$

där du mycket riktigt tagit fram att $\text{div}\ \mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=3(x^2+y^2)$.

Vi skall nu alltså beräkna integralen:

$\displaystyle3\iiint_K x^2+y^2\ dxdydz$

Uttrycket $x^2+y^2$ avslöjar att polära koordinater kan vara en god idé någon gång under lösningen, men jag tycker inte vi skall börja med det, vi bör istället börja med $z$-gränserna. Vår kropp är ju sådan att den går från $xy$-planet upp till ytan $z=\cos(x^2+y^2)$. Därför får vi att $z\in[0,\cos(x^2+y^2)]$ vilket ger oss integralen:

$\displaystyle3\iiint_K x^2+y^2\ dxdydz=3\iint_D\int_0^{\cos(x^2+y^2)}x^2+y^2\ dz\ dxdy$

När du  beräknat den innersta $z$-integralen är det sedan dags att gå över till polära koordinater.

AlvinB skrev:

Jag tror du vet ungefär vad du skall göra, men du slarvar när du skriver upp det. Till att börja med är ju $Y\cup Y_1=\partial K$, och inte $K$ ($Y$ och $Y_1$ är ju ytor, medans $K$ är en volym!).

Genom Gauss sats får du sedan relationen:

$\displaystyle\iint_Y\mathbf{F}\cdot N\ dS+\iint_{Y_1}\mathbf{F}\cdot N\ dS=\iiint_K\text{div}\ \mathbf{F}\ dV$

där du mycket riktigt tagit fram att $\text{div}\ \mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=3(x^2+y^2)$.

Vi skall nu alltså beräkna integralen:

$\displaystyle3\iiint_K x^2+y^2\ dxdydz$

Uttrycket $x^2+y^2$ avslöjar att polära koordinater kan vara en god idé någon gång under lösningen, men jag tycker inte vi skall börja med det, vi bör istället börja med $z$-gränserna. Vår kropp är ju sådan att den går från $xy$-planet upp till ytan $z=\cos(x^2+y^2)$. Därför får vi att $z\in[0,\cos(x^2+y^2)]$ vilket ger oss integralen:

$\displaystyle3\iiint_K x^2+y^2\ dxdydz=3\iint_D\int_0^{\cos(x^2+y^2)}x^2+y^2\ dz\ dxdy$

När du  beräknat den innersta $z$-integralen är det sedan dags att gå över till polära koordinater.

Undrar hur det blir med $\cos(x^2+y^2)$ kan det verkligen stämma att det blir sådär?? :S

Allting ser ut att vara i sin ordning förutom gränserna för $r$. Vi har ju att:

$x^2+y^2\leq R^2$

och i detta fall

$x^2+y^2\leq\dfrac{\pi}{2}$

alltså är

$R^2=\dfrac{\pi}{2}$

$R=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{2}$

Vad ska då gränserna för $r$ bli?

AlvinB skrev:

Allting ser ut att vara i sin ordning förutom gränserna för $r$. Vi har ju att:

$x^2+y^2\leq R^2$

och i detta fall

$x^2+y^2\leq\dfrac{\pi}{2}$

alltså är

$R^2=\dfrac{\pi}{2}$

$R=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{2}$

Vad ska då gränserna för $r$ bli?

$r \in [0, \sqrt{\frac{\pi}{2}}]$

men blir det verkligen (sista steget) $\cos(r^2)$ där??

Ja, det stämmer.

(Integralen är ju inte jätterolig, men den går ju faktiskt att lösa med partialintegration)