Gauss

Nej, nu har du parametriserat en sfär med radie ett. Vi har en ellipsoid, eller mer specifikt en sfäroid.

Det faktum att det är en sfäroid gör det svårt att använda vanliga sfäriska koordinater (de är bättre vid sfärer), men vi kanske kan justera koordinaterna lite så att de passar oss bättre.

På samma sätt som jag visade med planpolära koordinater i denna tråd kan man ändra lite konstanter i sfäriska koordinater så att det är lätt att beskriva en sfäroid. Vanliga sfäriska koordinater är ju:

$\{\begin{matrix}x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}$

Vi skulle gärna vilja att $z$-koordinaten var sådan att den tar ut fyran i ekvationen som beskriver ellipsoiden. Detta kan vi göra genom att dela $z$-uttrycket med två:

$\{\begin{matrix}x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=\dfrac{r\cos(\varphi)}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}$

Hänger du med på det?

AlvinB skrev:

Nej, nu har du parametriserat en sfär med radie ett. Vi har en ellipsoid, eller mer specifikt en sfäroid.

Det faktum att det är en sfäroid gör det svårt att använda vanliga sfäriska koordinater (de är bättre vid sfärer), men vi kanske kan justera koordinaterna lite så att de passar oss bättre.

På samma sätt som jag visade med planpolära koordinater i denna tråd kan man ändra lite konstanter i sfäriska koordinater så att det är lätt att beskriva en sfäroid. Vanliga sfäriska koordinater är ju:

$\{\begin{matrix}x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}$

Vi skulle gärna vilja att $z$-koordinaten var sådan att den tar ut fyran i ekvationen som beskriver ellipsoiden. Detta kan vi göra genom att dela $z$-uttrycket med två:

$\{\begin{matrix}x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=\dfrac{r\cos(\varphi)}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}$

Hänger du med på det?

 So det enda som ändras är att mmvi delar med 2?

Ja, eftersom vi då får en massa fina förenklingar när vi skall beskriva området. Se här:

$x^2+y^2+4z^2\leq1$

$\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+4(\dfrac{r\cos(\varphi)}{2})^2\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)\cos^2\left(\theta\right)+r^2\sin^2\left(\varphi\right)\sin^2\left(\theta\right)+4\cdot\dfrac{r^2\cos^2(\varphi)}{4}\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)\left(\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1$

$r^2\leq1$

$r\leq1$

Notera att den där tvåan var nödvändig för att vi skulle kunna få våra välbehövliga trigonometriska ettor.

Ser du vad gränserna blir med detta variabelbyte? Kan du ta fram Jacobideterminanten?

AlvinB skrev:

Ja, eftersom vi då får en massa fina förenklingar när vi skall beskriva området. Se här:

$x^2+y^2+4z^2\leq1$

$\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+4(\dfrac{r\cos(\varphi)}{2})^2\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)\cos^2\left(\theta\right)+r^2\sin^2\left(\varphi\right)\sin^2\left(\theta\right)+4\cdot\dfrac{r^2\cos^2(\varphi)}{4}\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)\left(\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1$

$r^2\leq1$

$r\leq1$

Notera att den där tvåan var nödvändig för att vi skulle kunna få våra välbehövliga trigonometriska ettor.

Ser du vad gränserna blir med detta variabelbyte? Kan du ta fram Jacobideterminanten?

Okej, finns det något mer sånna här typer av paramatiserering jag bör kunna? epsiloioder, sfärer, sovosv 

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

Ja, eftersom vi då får en massa fina förenklingar när vi skall beskriva området. Se här:

$x^2+y^2+4z^2\leq1$

$\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+\left(r\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\theta\right)\right)^2+4(\dfrac{r\cos(\varphi)}{2})^2\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)\cos^2\left(\theta\right)+r^2\sin^2\left(\varphi\right)\sin^2\left(\theta\right)+4\cdot\dfrac{r^2\cos^2(\varphi)}{4}\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)\left(\cos^2\left(\theta\right)+\sin^2\left(\theta\right)\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1$

$r^2\sin^2\left(\varphi\right)+r^2\cos^2\left(\varphi\right)\leq1$

$r^2\leq1$

$r\leq1$

Notera att den där tvåan var nödvändig för att vi skulle kunna få våra välbehövliga trigonometriska ettor.

Ser du vad gränserna blir med detta variabelbyte? Kan du ta fram Jacobideterminanten?

Okej, finns det något mer sånna här typer av paramatiserering jag bör kunna? epsiloioder, sfärer, sovosv 

Du ska väl kunna sfäriska, cylindriska, se hur man kan enkelt använda sfäriska för att parametrisera ellipsoider, antar u,v,w-transform osv.

Uppenbarligen ska du kunna detta eftersom du har en uppgift på det. :)