Gauss

Har du tagit fram uttrycket för fältets divergens? Dvs det du stoppar in i Gauss sats högerled. 

I vilket steg var det du körde fast/fick problem?

ja jag fick a=-1/2 och b=-3 till F=$\left(a{x}^2+xy,xy+y^2,byz+b\right)$

det jag inte förstår är hur vi får -9pi ur informationen vi har. Om man vet att F=$\left(-\frac{1}{2}{x}^2+xy,xy+y^2,-3yz-3\right)$ ska vi alltså integrera F m.h.a trippelintegralen? och hur får vi värdet på $\left(\nabla *F\right)$

Ekvation två i definitionsavsnittet

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Divergens_(vektoranalys)

Divergensen är ett mått på hur fältet varierar i rummet men beräknas praktiskt genom att ta summanav komponenternas partialderivata i motsvarande riktning.

ska man då sätta för den partiella derivatan av x $\frac{-x+2y}{2x}$ och sedan göra likadant för y och z

En operator är en tillordningsregel som till en funktion i en mängd, t.ex. de skalära fälten i $\mathbb{R}^3$, ordnar en funktion i en annan mängd, t.ex. vektorfälten i $\mathbb{R}^3$.

Gradientoperatorn $\nabla$  är en sådan operator. Symbolen brukar kallas del- eller nablaoperatorn. Den ser ut så här:

$\displaystyle \nabla = \left(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}\right)=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}$

Den är både en deriveringsoperator och en vektor.

Divergensen av fältet $F$ ges av $\nabla \cdot \mathbf{F}$, dvs skalärprodukten av nabla och fältet F.

$\displaystyle \nabla\cdot \mathbf{F} = \left(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot \left( -\frac{1}{2}x^2+xy,xy+y^2,-3yz-3 \right)$

 I en skalärprodukt multipliceras och summeras komponenterna parvis, alltså får du

$\displaystyle \nabla\cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{2}x^2+xy \right )+ \frac{\partial }{\partial y}\left( xy+y^2 \right)+ \frac{\partial }{\partial z}\left( -3yz-3\right)$.

Det visar sig att divergensen av fältet blir ett tal  som förenklar räkningarna, vad?

Slutligen gäller att summan av (integralen av) flödet ut från kroppens samtliga begränsningsytor ska vara lika med integralen av div F i den inneslutna volymen (Gauss lag).  Hur många begränsningsytor har du? Hur ska du gå vidare?

jag vet inte om jag förstår sista steget, om jag tar derivatan med avseende på x får jag (-x+xy) m.a.p.y (x+2y) m.a.p.z (-3y) och totalt får vi då xy-y, men vilket tal är det du menar?

K.Ivanovitj skrev :

jag vet inte om jag förstår sista steget, om jag tar derivatan med avseende på x får jag (-x+xy) m.a.p.y (x+2y) m.a.p.z (-3y) och totalt får vi då xy-y, men vilket tal är det du menar?

derivatan med avseende på x är (-x+y), map y (x+2y) och map z (-3y). Totalt får vi

 $\nabla \cdot \mathbf{F}=\cancel{-x}+y+\cancel{x}+2y-3y=3y-3y=0$

Talet jag menar är alltså 0. Det betyder att summan av inflöde och utflöde genom begränsningsytorna ska vara 0. Det är flödet genom den ena begränsningsytan du ska beräkna (om du inte redan gjort det bör du rita upp en figur så du ser hur kroppen ser ut).

jag ritade ut $x^2+y^2+z^2=3, z\ge 0$ och det blir ju en sfär med x-koordinat mellan -1 och 1 och y koordinat mellan -1 och 1 dock har vi inget negativt värde på z.

När jag försökte lösa denna uppgift fastnade jag i att jag fick svaret noll då jag har a=-1/2 och b=-3 alltså i detta läge då vi har lika inflöde och utflöde, därför förstår jag inte hur man ska få fram svaret -9pi

För att använda Gauss sats måste ytan innesluta en volym. Lägg därför till en yta så att du får en sluten volym. Det finns en sådan yta som gör räkningarna smidiga.

jag såg i ett annat exempel då det inte heller fanns en sluten yta till sfären $x^2+y^2+z^2=4, z\ge 0$ och man kunde då lägga till en yta $x^2+y^2\le 4, z=0$

kan vi då på liknande sätt lägga till ytan $x^2+y^2\le 3, z=0$

Ja exakt så. Tänk också på att ytans normalriktning ska peka ut från volymen, dvs i negativ z-led.

Kan du ställa upp ytintegralen över "bottenplattan"? Denna tillsammans med det sökta flödet genom sfärens yta ska alltså vara 0.

Först är jag lite osäker med integralerna vi ska väl få att ${\iint }_{s}F*nds={\iint }_{s+s1}F*nds-{\iint }_{s1}F*nds=\iint {\int }_{v}0dxdydz-{\iint }_{s1}F*nds=-{\iint }_{s1}F*nds$

att vi får ett negativt tecken framför dubbelintegralen är det eftersom vi går i negativ z-led? och att vi har en nolla framför dxdydz är det eftersom divergensen är noll?

Vi får då i detta fall $-{\iint }_{s1}F*nds=-{\iint }_{s1}\left(-0.5x^2+xy,xy+y^2,-3yz-3\right)\times n$

då återstår det att bestämma normalen. Då z är noll kan vi då ha normalen (0.0.1) eller (0.0.-1) ?

K.Ivanovitj skrev :

 

att vi får ett negativt tecken framför dubbelintegralen är det eftersom vi går i negativ z-led? och att vi har en nolla framför dxdydz är det eftersom divergensen är noll?

Du verkar tänka någorlunda rätt och har förstått det mesta, men jag får inte riktigt ihop dina beteckningar. Det är enklast att låta ytornas vektoriella areaelement styra riktningen under förutsättningarna i Gauss sats. Låt oss kalla bottenytan $S_1$ och sfären $S_2$. Då säger Gauss sats:

$\displaystyle \int_{S_1} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_1}+\displaystyle \int_{S_2} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_2}=\int_{V}\nabla \cdot \mathbf{F}\, \mathrm{d}V$

Eftersom divergensen av F är 0 är alltså det sökta flödet genom $S_2$

$\displaystyle \int_{S_2} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_2}=\displaystyle -\int_{S_1} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_1}$

Vi får då i detta fall $-{\iint }_{s1}F*nds=-{\iint }_{s1}\left(-0.5x^2+xy,xy+y^2,-3yz-3\right)\times n$

då återstår det att bestämma normalen. Då z är noll kan vi då ha normalen (0.0.1) eller (0.0.-1) ?

Ja, man väljer $\mathrm{d}\mathbf{S_1}=(0,0,-1)dxdy$ eftersom ytans normalriktning ska  vara utåtriktad (Gauss sats), alltså blir integralen (tänk på att z=0)

$\displaystyle -\int_{S_1} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S_1}=-\iint_{S_1}(0+0+3)\,dxdy$

ska vi då sedan sätta dubbelintegralen till ${\int }_0^3{\int }_0^{2\pi }\left(3\right)dxdy$

men då får jag det till -18pi

Nej, nu glömde du skalfaktorn i bytet till polära koordinater.  Antingen vet du att arean av cirkeln är $\pi (\sqrt{3})^2=3\pi$ och multiplicerar med -3 eller också får du byta till polära koordinater, så här:

okej då förstår jag hur vi får -9pi

När vi beräknar $\left(-0.5x^2+xy,xy+y^2,-3yz-3\right)\times \left(0,0,-1\right)=\left(0+0+3\right)dxdy$ multiplicerar man ihop det enligt $\left(-0.5x^2+xy\right)\times 0+\left(xy+y^2\right)\times 0+\left(-3yz-3\right)\times -1$ men då borde vi ju få 3yz+3 och inte bara 3 kvar.

eller ersätter vi x,y,z med 0,0,-1 och sätter in i F så att vi får $\left(-0.5\times 0^2+0\times 0,0\times 0+0^2,-3\times 0\times -1 -3\right)=-3$

K.Ivanovitj skrev :

okej då förstår jag hur vi får -9pi

När vi beräknar $\left(-0.5x^2+xy,xy+y^2,-3yz-3\right)\times \left(0,0,-1\right)=\left(0+0+3\right)dxdy$ multiplicerar man ihop det enligt $\left(-0.5x^2+xy\right)\times 0+\left(xy+y^2\right)\times 0+\left(-3yz-3\right)\times -1$ men då borde vi ju få 3yz+3 och inte bara 3 kvar.

Ja skalärprodukten "blir" 3yz+3. Men kom ihåg att för hela den cirkelformade bottenplattan som du själv la dit för att få en sluten volym (nödvändigt för Gauss sats) gäller z=0. Spana själv in ditt inlägg här

Alltså blir det bara 3  kvar av skalärprodukten mellan ytans normal och och fältet. Denna 3:a ska sedan integreras över hela bottenplattans yta. Är du med på det?

ja nu förstår jag, och för att motivera byte till polära koordinater i slutet, är det eftersom vi har ett bestämt avstånd i detta fall då 3 samt att vi beräknar flödet genom en sfär

Vi använder polära koordinater eftersom integralen vi ska beräkna är:

$-3\iint_{S_1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Där området $S_1$ är den bottenplatta du la dit för att sluta volymen. Området $S_1$ är en cirkel med radien $\sqrt3$ i xy-planet.

Arean av området är $\pi \cdot (\sqrt{3})^2=3\pi$. Alltså blir integralen trivialt $-3\cdot 3\pi=-9\pi$.

Om man ändå vill räkna ut integralen kan man byta till polära koordinater och räkna ut integralen över området på vanligt sätt som jag visade ovan.