Gatunät

I en korsning kan du gå till höger eller nedåt. Du måste fatta ett beslut i var korsning, höger eller nedåt, total 9 beslut..

För att komma från A till B måste du gå 5 steg åt höger och 4 nedåt. 

Du kan välja vilka 4 korsningar du ska gå nedåt i på 4 över 9 sätt. 

(Eller välja 5 du ska gå till höger i på 5 över 9 sätt, vilket är lika mycket)

Varför leder 4 över 9 till att jag kommer till b och inte bara fyra steg rakt ner?

Tänk dig att du har 9 tomma positioner som representerar den väg personen tar:

_ _ _ _ _ _ _ _ _

Vi vill ta reda på på hur många olika sätt man kan placera in fyra N och fem H, där N betyder nedåt och H betyder höger. Vi kan antigen först välja att placera de fyra N:en på $\binom{9}{4}$ sätt, t.ex.

_ _ N N _ _ N _ N

Då är positionerna för H:na entydigt bestämda:

H H N N H H N H N

Man kan förstås också börja med att placera H:na, vilket kan göras på $\binom{9}{5}$ olika sätt. Men $\binom{9}{5}=\binom{9}{4}$ eftersom att välja 5 ur 9 är samma sak som att välja bort 4 av 9.

Jo, då förstår jag det. 

detta är nog en dålig jämförelse men om jag har en skål med 5 olika frukter och ska ta upp två för att ta reda på hur många kombinationer som finns, då tänker man väl:

kombinationer: 1,2.  2,3.  3,4. Osv

man tänker ju inte 1 2 _ _ _ eller 1_2__ 

varför tänker jag att H fyller i _ i denna uppgift men inte att de andra frukterna fyller i _ i det jag skrev ovan? Vet inte om min fråga är förståelig😅

Bra fråga! Mitt sätt är bara ett sätt att tänka på. Man behöver inte tänka så, utan det finns många olika sätt att se på det. Ofta kan det hjälpa ens förståelse att byta perspektiv så jag gav bara ett möjligt sådant synsätt.

Talen $\binom{n}{k}$ förekommer i väldigt många olika situationer där man räknar kombinationer eller annat, och allt beskrivs inte lämpligast på det sätt jag beskrev. 

Man skulle dock kunna tänka sig följande. Vi har fem tomma positioner

_ _ _ _ _

och ska placera in två st X. Detta kan göras på $\binom{5}{2}$ sätt, till exempel

_ _ X _ X

Detta skulle då kunna motsvara valet $\{3,5\}$. Och

X _ _ X _

skulle motsvara $\{1,4\}$.

Jag tror jag förstår. I i gatunätet är _ åt sidan och i med frukterna är _ de jag inte tar. I gatunätet måste jag ta 9 beslut medan med frukterna ska jag ta upp två frukter och inte fem och därför blir det som det blir. Låter det rätt?

Ja, precis. Man kan se det som att du ska välja ut 4 av 9 positioner, respektive 2 av 5 positioner, där de resterande 5 respektive 3 positionerna är entydigt bestämda utifrån dina val. (I det enda fallet är det där du ska gå åt höger, i det andra fallet är det vilka frukter som lämnas kvar i påsen). På så sätt kan man förstå varför talen $\binom{n}{k}$ dyker upp i båda situationerna.

Kan man säga att de gör motsatsen till varandra i kombinatoriken? I gatuexempelt är 4 steg neråt och resterande 5 åt sidan. Medan i fruktexemplet är det 2 man tar upp och 3 som man inte tar upp.  Så n-k kommer att göra motsatsen till det jag vill att k ska göra. 

Om detta stämmer kanske jag förstår mig på kombinatorik kapitlet äntligen😅

Det är precis så. Antalet sätt att välja ut 4 av en grupp på 9 är lika med antalet sätt att välja ut 5 av en grupp på 9. Ditt val delar nämligen in 9 i två grupper om 4 och 5 i båda fallen. Ett annat sätt att säga det på är att välja ut 4 ur en grupp på 9 är samma sak som att inte välja ut 5 av 9. Allmänt så gäller det att

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

Man kan också se detta algebraiskt via definitionen:

$\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$,

medan

$\binom{n}{n-k} =\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} =\frac{n!}{(n-k)!(n-n+k)!} =\frac{n!}{(n-k)!k!}$.

JAG FÖRSTÅR NU!!! tack så mycket för alla svar.