Går detta att lösa algebraiskt?

Det går, förutom att det finns en formel för tredjegradare så kan man notera att vänsterledet kan faktoriseras genom att bryta ut i två steg:

$x^3 + x^2 + x + 1 = 0 \\ x^3 + x + x^2 + 1 = 0 \\ x\cdot x^2 + x\cdot 1 + x^2 + 1 = 0 \\ x\cdot (x^2 + 1) + 1\cdot (x^2 + 1) = 0 \\ (x + 1) (x^2 + 1) = 0$

Därefter, nollproduktsmetoden.

Det känns som att det är väldigt svårt att se det.

Tack för hjälpen!

Men hur får du det från det näst sista till det sista?

Jaha du adderar koefficienterna.

Ja, det är knepigt att se. Lättare att bara pröva några x =) Men det blir lättare att se när man gjort det några gånger.

På näst sista raden finns det två termer i VL, och båda använder faktorn $(x^2+1)$. Den faktorn kan därför brytas ut. Logiken är precis densamma som när man bryter ut ett vanligt tal som "5" som står på mer än ett ställe. Att man bryter ut en parentes är inte annorlunda - parentesen motsvarar ett enda tal.

Man kan hoppas på att roten är ett heltal, och då kan det bara vara ett heltal som delar 1. Det är inte så många: bara -1 och 1.